Интегралы: полный курс / Криволинейные и поверхностные интегралы / урок 59 из 64

Поверхностный интеграл второго рода

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 10

Поток

Жидкость течёт со скоростью $\vec F(x, y, z)$ . Сколько её проходит через поверхность $S$ за единицу времени? Через маленькую площадку $\Delta S$ с единичной нормалью $\vec n$ за время $dt$ проходит «косой цилиндр» объёмом $(\vec F\cdot\vec n)\,\Delta S\,dt$ : работает только составляющая скорости поперёк площадки. Суммируя, получаем поток:

\Pi = \iint_S \vec F\cdot\vec n\;dS.

Это поверхностный интеграл второго рода. Формально это интеграл первого рода от функции $\vec F\cdot\vec n$ , но в нём есть новый ингредиент — выбор нормали.

Ориентация

У гладкой поверхности в каждой точке две единичные нормали: $\vec n$ и $-\vec n$ . Ориентировать поверхность — выбрать одну из них непрерывно во всех точках, то есть выбрать сторону. У замкнутой поверхности (сфера, поверхность куба) обычно берут внешнюю сторону, у графика $z = f(x, y)$ — верхнюю ( $n_z > 0$ ) или нижнюю.

Не всякая поверхность двусторонняя. Лист Мёбиуса — полоска, склеенная с перекрутом: если везти нормаль по средней линии, она вернётся перевёрнутой. Для таких поверхностей поток не определён.

Смена стороны меняет знак потока: $\iint_{S^-} = -\iint_{S^+}$ .

Координатная запись

Если $\vec n = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ , то $\cos\gamma\,dS$ — площадь проекции площадки на $Oxy$ со знаком; её обозначают $dx\,dy$ . Аналогично $\cos\alpha\,dS = dy\,dz$ , $\cos\beta\,dS = dz\,dx$ . Тогда для $\vec F = (P, Q, R)$ :

\iint_S \vec F\cdot\vec n\,dS = \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy.

Вычисление проектированием. Слагаемое $\iint_S R\,dx\,dy$ для поверхности $z = f(x, y)$ , $(x, y)\in D$ :

\iint_S R(x, y, z)\,dx\,dy = \pm\iint_D R\big(x, y, f(x, y)\big)\,dx\,dy,

со знаком « $+$ » для верхней стороны и « $-$ » для нижней. Остальные слагаемые — проектированием на $Oyz$ и $Ozx$ . Части поверхности, перпендикулярные плоскости проекции (например, боковая поверхность цилиндра для $dx\,dy$ ), дают ноль.

Через параметризацию

Удобнее всего — одной формулой. Для $\vec r(u, v)$ вектор $\vec N = \vec r_u\times\vec r_v$ перпендикулярен поверхности, а его длина — множитель площади. Поэтому $\vec n\,dS = \pm\vec N\,du\,dv$ и

\boxed{\iint_S\vec F\cdot\vec n\,dS = \pm\iint_D \vec F\big(\vec r(u, v)\big)\cdot(\vec r_u\times\vec r_v)\;du\,dv}

Знак выбирают по тому, куда смотрит $\vec N$ . Для графика $z = f(x, y)$ : $\vec N = (-f_x, -f_y, 1)$ — нормаль вверх, и

\iint_S \vec F\cdot\vec n\,dS = \iint_D\big(-P f_x - Q f_y + R\big)\,dx\,dy \quad\text{(верхняя сторона).}

import sympy as sp

x, y, r, phi = sp.symbols("x y r phi", real=True)
# Поток F = (x, y, z) через параболоид z = x² + y², z ≤ 1, нормаль вверх
f = x**2 + y**2
P, Q, R = x, y, f                       # поле на поверхности (z = f)
N = sp.Matrix([-sp.diff(f, x), -sp.diff(f, y), 1])
integrand = sp.Matrix([P, Q, R]).dot(N)
print("F·N =", sp.simplify(integrand))
polar = sp.simplify(integrand.subs({x: r * sp.cos(phi), y: r * sp.sin(phi)})) * r
print("поток =", sp.integrate(polar, (r, 0, 1), (phi, 0, 2 * sp.pi)))

Пример: сфера

Поток $\vec F = (x, y, z)$ через внешнюю сторону сферы радиуса $R$ . Внешняя нормаль $\vec n = \frac{(x, y, z)}{R}$ , поэтому $\vec F\cdot\vec n = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R$ и

\Pi = R\cdot4\pi R^2 = 4\pi R^3.

Заметьте: $4\pi R^3 = 3\cdot\frac43\pi R^3$ — утроенный объём шара. Это не совпадение: $\operatorname{div}\vec F = 3$ , и следующий урок (формула Гаусса–Остроградского) объяснит, почему.

import numpy as np

# Поток F = (x, y, z) через сферу радиуса 2: сумма F·N по сетке параметров
R, n = 2.0, 400
th = (np.arange(n) + 0.5) * np.pi / n
ph = (np.arange(2 * n) + 0.5) * np.pi / n
TH, PH = np.meshgrid(th, ph)
pos = R * np.stack([np.sin(TH) * np.cos(PH), np.sin(TH) * np.sin(PH), np.cos(TH)])
N = R * np.sin(TH) * pos                 # r_θ × r_φ = R sin θ · r (смотрит наружу)
F = pos                                  # поле F = r
flux = np.sum(np.sum(F * N, axis=0)) * (np.pi / n)**2
print("поток ≈", flux, "  4πR³ =", 4 * np.pi * R**3)

Как считать поток: алгоритм

Выбрать сторону поверхности (обычно указана: «внешняя», «верхняя»).
Параметризовать поверхность и найти $\vec N = \vec r_u\times\vec r_v$ (для графика — $(-f_x, -f_y, 1)$ ); проверить, что он смотрит в нужную сторону, иначе сменить знак.
Подставить поверхность в поле и вычислить $\iint_D\vec F\cdot\vec N\,du\,dv$ .
Для замкнутой поверхности часто проще формула Гаусса–Остроградского.

Если поле или поверхность простые, ищите короткий путь: $\vec F\cdot\vec n$ может оказаться постоянным (сфера и радиальное поле, цилиндр и поле $(x, y, 0)$ ), тогда поток — это константа, умноженная на площадь.

Итог

Поток $\iint_S\vec F\cdot\vec n\,dS$ — количество жидкости, протекающей через $S$ за единицу времени.
Он зависит от стороны поверхности: смена стороны меняет знак. Для односторонних поверхностей не определён.
Координатная запись: $\iint P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$ , каждое слагаемое — проектированием со знаком.
Через параметризацию: $\pm\iint_D\vec F\cdot(\vec r_u\times\vec r_v)\,du\,dv$ ; для графика нормаль вверх $(-f_x, -f_y, 1)$ .

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Поток поля $\vec F = (x, y, z)$ через внешнюю сторону единичной сферы.

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).