Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 15 из 64

Универсальная подстановка

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 9

Подстановка $t = \operatorname{tg}\frac x2$

Пусть подынтегральная функция — рациональная функция от $\sin x$ и $\cos x$ , то есть получается из них арифметическими действиями: $\frac{1}{2 + \sin x}$ , $\frac{\sin x}{1 + \cos x - \sin^2 x}$ и т. п. Сделаем замену $t = \operatorname{tg}\frac x2$ на промежутке $(-\pi; \pi)$ . Тогда $x = 2\operatorname{arctg} t$ и

\sin x = \frac{2\operatorname{tg}\frac x2}{1 + \operatorname{tg}^2\frac x2} = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac x2}{1 + \operatorname{tg}^2\frac x2} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}.

Всё — рациональные функции $t$ ! Значит, интеграл превращается в интеграл от рациональной дроби, который мы умеем брать всегда. Поэтому подстановка и называется универсальной.

Пример. $\int\frac{dx}{\sin x}$ :

\int\frac{1 + t^2}{2t}\cdot\frac{2\,dt}{1 + t^2} = \int\frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln\left|\operatorname{tg}\frac x2\right| + C.

Пример. $\int\frac{dx}{3 + 5\cos x}$ . Знаменатель: $3 + 5\frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{8 - 2t^2}{1 + t^2}$ .

\int\frac{2\,dt}{8 - 2t^2} = \int\frac{dt}{4 - t^2} = \frac14\ln\left|\frac{2 + t}{2 - t}\right| + C = \frac14\ln\left|\frac{2 + \operatorname{tg}\frac x2}{2 - \operatorname{tg}\frac x2}\right| + C.

import sympy as sp

x, t = sp.symbols("x t")
subs = {sp.sin(x): 2*t / (1 + t**2), sp.cos(x): (1 - t**2) / (1 + t**2)}
dx = 2 / (1 + t**2)

for f in [1 / sp.sin(x), 1 / (3 + 5*sp.cos(x)), 1 / (1 + sp.sin(x) + sp.cos(x))]:
    g = sp.factor(sp.simplify(f.subs(subs) * dx))
    G = sp.integrate(g, t)
    print(f"∫ {str(f):22} dx  →  ∫ {g} dt = {G}")

Минусы и частные подстановки

Универсальная подстановка всегда работает, но часто приводит к дробям высокой степени. Например, $\int\sin^2 x\,dx$ после неё превращается в $\int\frac{8t^2}{(1 + t^2)^3}dt$ — гораздо сложнее понижения степени. Поэтому сначала проверяют симметрии:

Свойство $R(\sin x, \cos x)$	Замена
$R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x)$ (нечётна по синусу)	$t = \cos x$
$R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)$ (нечётна по косинусу)	$t = \sin x$
$R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)$	$t = \operatorname{tg} x$
ничего из этого	$t = \operatorname{tg}\frac x2$

Для замены $t = \operatorname{tg} x$ (на интервале $(-\frac\pi2; \frac\pi2)$ ):

\sin^2 x = \frac{t^2}{1 + t^2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1}{1 + t^2}, \qquad \sin x\cos x = \frac{t}{1 + t^2}, \qquad dx = \frac{dt}{1 + t^2}.

Пример. $\int\frac{dx}{\sin^2 x + 4\cos^2 x}$ — не меняется при смене знаков обеих функций. Делим числитель и знаменатель на $\cos^2 x$ :

\int\frac{d(\operatorname{tg} x)}{\operatorname{tg}^2 x + 4} = \frac12\operatorname{arctg}\frac{\operatorname{tg} x}{2} + C.

Осторожно с промежутками

Подстановка $t = \operatorname{tg}\frac x2$ определена только при $x \ne \pi + 2\pi k$ . Ответ вроде $\frac23\operatorname{arctg}\left(\frac13\operatorname{tg}\frac x2\right)$ для $\int\frac{dx}{5 + 4\cos x}$ имеет скачки в точках $\pm\pi$ , хотя подынтегральная функция непрерывна всюду. На каждом интервале $(-\pi + 2\pi k; \pi + 2\pi k)$ это первообразная, но для определённого интеграла через точку $\pi$ так подставлять пределы нельзя.

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(-3 * np.pi, 3 * np.pi, 1201)
F = 2 / 3 * np.arctan(np.tan(x / 2) / 3)
vis.line(x, {"1/(5 + 4cos x)": 1 / (5 + 4 * np.cos(x)), "(2/3)·arctg(tg(x/2)/3)": F},
         title="Первообразная после универсальной подстановки «прыгает» в точках ±π, ±3π", xlabel="x")

Итог

$t = \operatorname{tg}\frac x2$ : $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$ , $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ , $dx = \frac{2dt}{1 + t^2}$ — любой $R(\sin x, \cos x)$ сводится к рациональной дроби.
Сначала проверьте симметрии: часто хватает $t = \sin x$ , $t = \cos x$ или $t = \operatorname{tg} x$ .
Первообразная после подстановки верна лишь на интервалах между точками $x = \pi + 2\pi k$ .

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Выразите $\sin x$ через $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: t.