Формулы Гаусса–Остроградского и Стокса

Дивергенция

Для поля \vec F = (P, Q, R)

Смысл. Возьмём маленький кубик со стороной h около точки. Поток через две грани, перпендикулярные Ox: \big(P(x + h) - P(x)\big)h^2 \approx P_x h^3. Складывая три пары граней, получаем поток наружу \approx \operatorname{div}\vec F\cdot V. Значит, дивергенция — плотность источников: сколько «жидкости» рождается в единице объёма. \operatorname{div}\vec F > 0 — источник, < 0 — сток, = 0 — несжимаемое течение.

Формула Гаусса–Остроградского

Сложим кубики, заполняющие тело V. Потоки через общие грани соседних кубиков сокращаются (нормали противоположны), остаётся только поток через внешнюю границу:

где \partial V — граница тела с внешней нормалью. Строгое доказательство повторяет доказательство формулы Грина: для слагаемого \iiint R_z\,dV интегрируем по z и получаем разность значений R на верхней и нижней частях границы.

Как применять.

• Поток через замкнутую поверхность почти всегда проще считать как тройной интеграл.
• Поток через незамкнутую поверхность: замкните её простыми кусками (кругом, плоскостью), посчитайте по Гауссу и вычтите потоки через добавленные куски.
• Объём тела — поток поля с дивергенцией 1: V = \frac13\oiint(x, y, z)\cdot\vec n\,dS.

import sympy as sp

x, y, z = sp.symbols("x y z", real=True)
P, Q, R = x * y, y * z, z * x
div = sp.diff(P, x) + sp.diff(Q, y) + sp.diff(R, z)
volume = sp.integrate(div, (x, 0, 1), (y, 0, 1), (z, 0, 1))

# Поток по граням куба напрямую: на грани x = 1 нормаль +i, на грани x = 0 — −i, и т. д.
F = sp.Matrix([P, Q, R])
faces = 0
for var, (u, v) in [(x, (y, z)), (y, (x, z)), (z, (x, y))]:
    k = [x, y, z].index(var)
    faces += sp.integrate(F[k].subs(var, 1) - F[k].subs(var, 0), (u, 0, 1), (v, 0, 1))
print("div F =", div)
print("∭ div F dV =", volume, "   ∯ F·n dS =", faces)

Ротор

Смысл. Проекция ротора на направление \vec n — плотность циркуляции в плоскости, перпендикулярной \vec n: циркуляция по маленькому контуру площади S равна \approx(\operatorname{rot}\vec F\cdot\vec n)\,S. Если опустить в поток маленькую вертушку, она будет вращаться с угловой скоростью \frac12|\operatorname{rot}\vec F| вокруг оси \operatorname{rot}\vec F. Третья компонента Q_x - P_y — это ровно то, что стоит в формуле Грина.

Формула Стокса

Пусть S — ориентированная поверхность с краем L. Направление обхода L согласовано с нормалью правилом правого винта: если смотреть с конца нормали, обход идёт против часовой стрелки. Тогда

Циркуляция по контуру равна потоку ротора через любую поверхность, натянутую на этот контур. Доказательство — та же идея: разбиваем S на маленькие площадки, на каждой работает формула Грина, интегралы по внутренним сторонам сокращаются.

Формула Грина — частный случай Стокса для плоской области (\vec n = \vec k).

import sympy as sp

x, y, z, t, r, phi = sp.symbols("x y z t r phi", real=True)
P, Q, R = y, z, x
rot = sp.Matrix([sp.diff(R, y) - sp.diff(Q, z), sp.diff(P, z) - sp.diff(R, x), sp.diff(Q, x) - sp.diff(P, y)])
print("rot F =", list(rot))

# Контур: единичная окружность в плоскости z = 0
X, Y, Z = sp.cos(t), sp.sin(t), 0
sub = {x: X, y: Y, z: Z}
circ = sp.integrate(P.subs(sub) * sp.diff(X, t) + Q.subs(sub) * sp.diff(Y, t) + R.subs(sub) * 0, (t, 0, 2 * sp.pi))
# Поверхность 1: плоский круг, нормаль k
disk = sp.integrate(rot[2] * r, (r, 0, 1), (phi, 0, 2 * sp.pi))
# Поверхность 2: верхняя полусфера, внешняя нормаль (x, y, z), dS = sin θ dθ dφ
th = sp.symbols("theta")
n = sp.Matrix([sp.sin(th) * sp.cos(phi), sp.sin(th) * sp.sin(phi), sp.cos(th)])
hemi = sp.integrate(rot.dot(n) * sp.sin(th), (th, 0, sp.pi / 2), (phi, 0, 2 * sp.pi))
print("циркуляция:", circ, "  поток через круг:", disk, "  через полусферу:", sp.simplify(hemi))

Поток ротора через круг и через полусферу один и тот же — оба равны циркуляции по общему краю.

Тождества и потенциальность

• \operatorname{rot}\nabla u = \vec 0: у потенциального поля нет вихрей.
• \operatorname{div}\operatorname{rot}\vec F = 0: у поля вихрей нет источников.
• \operatorname{div}\nabla u = \Delta u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} — оператор Лапласа.

В односвязной области поле потенциально тогда и только тогда, когда \operatorname{rot}\vec F = \vec 0 (по формуле Стокса циркуляция по любому контуру равна нулю). Это пространственная версия признака Q_x = P_y из урока о потенциальных полях.

Общая картина

Все пять — одна теорема: интеграл от производной по области равен интегралу от самой функции по её границе. В современной математике её записывают одной строкой, \int_\Omega d\omega = \int_{\partial\Omega}\omega (общая формула Стокса для дифференциальных форм).

В физике эти формулы превращают законы в интегральной форме в дифференциальные: закон Гаусса для электрического поля (\oiint\vec E\cdot\vec n\,dS = q/\varepsilon_0) даёт \operatorname{div}\vec E = \rho/\varepsilon_0, закон Фарадея — \operatorname{rot}\vec E = -\partial\vec B/\partial t, закон сохранения массы — уравнение неразрывности \partial_t\rho + \operatorname{div}(\rho\vec v) = 0.

Итог

• \operatorname{div}\vec F = P_x + Q_y + R_z — плотность источников; \oiint_{\partial V}\vec F\cdot\vec n\,dS = \iiint_V\operatorname{div}\vec F\,dV (нормаль внешняя).
• \operatorname{rot}\vec F = \nabla\times\vec F — плотность вихрей; \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r = \iint_S\operatorname{rot}\vec F\cdot\vec n\,dS (правило правого винта).
• Незамкнутую поверхность для Гаусса замыкают; для Стокса выбирают самую простую поверхность с тем же краем.
• \operatorname{rot}\nabla = \vec 0, \operatorname{div}\operatorname{rot} = 0; Ньютон–Лейбниц, Грин, Стокс и Гаусс — частные случаи одной формулы.