Интегралы: полный курс / Криволинейные и поверхностные интегралы / урок 58 из 64

Поверхностный интеграл первого рода

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 10

Задача: масса оболочки

Тонкая оболочка (кусок поверхности $S$ ) имеет поверхностную плотность $\rho(x, y, z)$ . Разобьём $S$ на маленькие кусочки площади $\Delta S_i$ , в каждом возьмём точку $M_i$ :

m \approx \sum_i \rho(M_i)\,\Delta S_i \;\xrightarrow{\;\max\operatorname{diam}\to0\;}\; \iint_S \rho(x, y, z)\,dS.

Предел таких сумм для произвольной функции $f$ — поверхностный интеграл первого рода $\iint_S f\,dS$ . При $f = 1$ это площадь поверхности. Как и криволинейный интеграл первого рода, он не зависит от ориентации: $dS$ — положительная площадь.

Параметрическая поверхность

Пусть $S$ задана как $\vec r(u, v) = \big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\big)$ , $(u, v) \in D$ . Маленький прямоугольник $du \times dv$ на плоскости параметров переходит в почти-параллелограмм, натянутый на векторы $\vec r_u\,du$ и $\vec r_v\,dv$ . Его площадь — длина векторного произведения:

\boxed{dS = |\vec r_u \times \vec r_v|\,du\,dv, \qquad \iint_S f\,dS = \iint_D f\big(\vec r(u, v)\big)\,|\vec r_u \times \vec r_v|\,du\,dv}

Удобная формула для длины: $|\vec r_u\times\vec r_v| = \sqrt{EG - F^2}$ , где $E = \vec r_u^{\,2}$ , $G = \vec r_v^{\,2}$ , $F = \vec r_u\cdot\vec r_v$ .

Сфера радиуса $R$ : $\vec r = R(\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$ , $\theta\in[0;\pi]$ , $\varphi\in[0; 2\pi]$ . Тогда $dS = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ и площадь равна $4\pi R^2$ .

import sympy as sp

R, th, ph = sp.symbols("R theta phi", positive=True)
r = sp.Matrix([R * sp.sin(th) * sp.cos(ph), R * sp.sin(th) * sp.sin(ph), R * sp.cos(th)])
n = r.diff(th).cross(r.diff(ph))
dS = sp.simplify(sp.sqrt(sp.simplify(n.dot(n))))
print("|r_θ × r_φ| =", dS)              # R² sin θ (SymPy может записать R²|sin θ|)
dS = R**2 * sp.sin(th)
print("площадь сферы:", sp.integrate(dS, (th, 0, sp.pi), (ph, 0, 2 * sp.pi)))
print("∬ z² dS =", sp.simplify(sp.integrate((R * sp.cos(th))**2 * dS, (th, 0, sp.pi), (ph, 0, 2 * sp.pi))))

Поверхность-график

Если $S$ — график $z = f(x, y)$ над областью $D$ , возьмём параметры $u = x$ , $v = y$ : $\vec r = (x, y, f)$ , $\vec r_x = (1, 0, f_x)$ , $\vec r_y = (0, 1, f_y)$ , $\vec r_x\times\vec r_y = (-f_x, -f_y, 1)$ . Получаем

\boxed{dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\;dx\,dy.}

Множитель $\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \frac{1}{\cos\gamma}$ , где $\gamma$ — угол между нормалью и осью $Oz$ : наклонная площадка больше своей проекции. Для плоскости $x + y + z = 2$ он равен $\sqrt3$ ; для конуса $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ — $\sqrt2$ (угол наклона $45°$ ).

Если поверхность удобнее проектировать на другую координатную плоскость, формула аналогична: для $y = g(x, z)$ — $dS = \sqrt{1 + g_x^2 + g_z^2}\,dx\,dz$ .

Пример: параболоид

Площадь части $z = x^2 + y^2$ под плоскостью $z = 2$ . Здесь $f_x = 2x$ , $f_y = 2y$ , $dS = \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)}\,dx\,dy$ , проекция — круг $r \le \sqrt2$ . В полярных координатах:

S = \int_0^{2\pi}\!\!d\varphi\int_0^{\sqrt2}\sqrt{1 + 4r^2}\;r\,dr = 2\pi\cdot\frac{(1 + 4r^2)^{3/2}}{12}\Big|_0^{\sqrt2} = \frac{13\pi}{3}.

import numpy as np

# Численно: триангулируем параболоид и складываем площади треугольников
n = 200
r = np.linspace(0, np.sqrt(2), n)
phi = np.linspace(0, 2 * np.pi, n)
R, PHI = np.meshgrid(r, phi)
P = np.stack([R * np.cos(PHI), R * np.sin(PHI), R**2], axis=-1)

def tri_area(a, b, c):
    return 0.5 * np.linalg.norm(np.cross(b - a, c - a), axis=-1)

A, B, C, D = P[:-1, :-1], P[1:, :-1], P[1:, 1:], P[:-1, 1:]
total = tri_area(A, B, C).sum() + tri_area(A, C, D).sum()
print("сумма площадей треугольников:", total)
print("13π/3 =", 13 * np.pi / 3)

Так площадь поверхности считают в компьютерной графике: сетка из треугольников, сумма их площадей. Интеграл — предел таких сумм.

Применения

Те же формулы, что для пластин и кривых, только с $dS$ :

Величина	Формула
площадь	$S = \iint_S dS$
масса оболочки	$m = \iint_S \rho\,dS$
центр масс	$x_c = \frac1m\iint_S x\rho\,dS$ , …
момент инерции относительно $Oz$	$I_z = \iint_S (x^2 + y^2)\rho\,dS$

Пример. Центр масс однородной полусферы $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ , $z \ge 0$ : $\iint z\,dS = R^3\cdot2\pi\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \pi R^3$ , площадь $2\pi R^2$ , значит $z_c = \frac R2$ . Сравните: у сплошного полушара $z_c = \frac{3R}{8}$ — масса оболочки сосредоточена дальше от основания.

Симметрия экономит вычисления: на сфере $\iint x^2\,dS = \iint y^2\,dS = \iint z^2\,dS = \frac13\iint R^2\,dS = \frac{4\pi R^4}{3}$ , а интегралы нечётных функций по симметричной поверхности равны нулю.

Итог

$\iint_S f\,dS$ — предел сумм $\sum f(M_i)\Delta S_i$ ; от стороны поверхности не зависит.
Параметрическая поверхность: $dS = |\vec r_u\times\vec r_v|\,du\,dv$ ; сфера — $R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ .
График $z = f(x, y)$ : $dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dx\,dy$ , интеграл сводится к двойному по проекции.
Площадь, масса, центр масс и моменты оболочек — те же формулы с $dS$ .

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Найдите площадь части плоскости $x + y + z = 2$ , лежащей в первом октанте ( $x, y, z \ge 0$ ).

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).