Прямоугольники и трапеции

Зачем считать приближённо

• Первообразная не элементарна: \int_0^1e^{-x^2}dx, \int_0^\pi\frac{\sin x}{x}dx, длина эллипса.
• Функция задана таблицей измерений: скорость каждые 10 секунд, расход воды по часам.
• Первообразная есть, но очень громоздкая.

Все численные методы устроены одинаково: отрезок [a; b] делится на n частей шириной h = \frac{b - a}{n}, на каждой части функция заменяется простой (константой, прямой, параболой), а интеграл от простой функции считается точно.

Обозначим x_k = a + kh, f_k = f(x_k).

Прямоугольники

Трапеции

Соединяем соседние точки графика отрезками; площадь трапеции h\frac{f_{k} + f_{k+1}}{2}. Складывая:

Это среднее левой и правой сумм.

Погрешности

Для дважды дифференцируемой функции:

Порядок — показатель степени h: при удвоении n ошибка метода первого порядка уменьшается вдвое, второго — вчетверо.

Почему средние прямоугольники точнее трапеций в 2 раза и с противоположным знаком? Разложим f по Тейлору около середины отрезка m: f(x) = f(m) + f'(m)(x - m) + \frac{f''(m)}{2}(x - m)^2 + \dots Линейное слагаемое интегрируется в ноль, а квадратичное даёт \frac{f''h^3}{24} — ошибку средних прямоугольников. У трапеций та же разность, но -\frac{f''h^3}{12}. Эта связь — ключ к формуле Симпсона в следующем уроке.

import numpy as np
import vis

f, a, b, exact = np.exp, 0.0, 1.0, np.e - 1

def rule(name, n):
    h = (b - a) / n
    x = a + h * np.arange(n + 1)
    if name == "левые": return h * np.sum(f(x[:-1]))
    if name == "средние": return h * np.sum(f(x[:-1] + h / 2))
    return h * (np.sum(f(x)) - (f(a) + f(b)) / 2)       # трапеции

ns = [2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256]
errs = {name: [abs(rule(name, n) - exact) for n in ns] for name in ["левые", "средние", "трапеции"]}
vis.line(np.log2(ns), errs, logy=True, title="Ошибка в логарифмическом масштабе: наклон = порядок метода", xlabel="log₂ n")
for name, e in errs.items():
    print(f"{name:9}: отношения ошибок при удвоении n:", np.round(np.array(e[:-1]) / np.array(e[1:]), 2))

Отношения близки к 2 у прямоугольников по краю и к 4 у средних прямоугольников и трапеций — так экспериментально определяют порядок метода.

Табличные данные

Если функция известна только в точках (например, измерения), подходит метод трапеций — он использует ровно значения в узлах. В NumPy: np.trapz(y, x) (узлы могут быть и неравномерными).

import numpy as np

t = np.array([0, 10, 20, 30, 40, 50, 60])                  # время, с
v = np.array([0, 4.5, 9.8, 13.2, 15.1, 15.9, 16.2])         # скорость, м/с
print("путь за минуту ≈", np.trapz(v, t), "м")
print("средняя скорость ≈", round(float(np.trapz(v, t) / 60), 2), "м/с")

Итог

• Прямоугольники по краю — O(h), средние прямоугольники и трапеции — O(h^2).
• |R_{\text{трап}}| \le \frac{(b - a)h^2}{12}\max|f''|; средние прямоугольники вдвое точнее и с другим знаком ошибки.
• Порядок метода видно по наклону графика ошибки в логарифмическом масштабе.