Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 12 из 64

Простейшие рациональные дроби

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 10

Рациональные функции

Рациональная функция — отношение двух многочленов: $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ . Дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Неправильную дробь делением с остатком превращают в многочлен плюс правильную дробь — многочлен интегрируется сразу.

Алгебра утверждает: любой многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается на линейные множители $(x - a)$ и неразложимые квадратные трёхчлены $x^2 + px + q$ (с $p^2 - 4q < 0$ ). А любая правильная дробь — сумма простейших дробей:

Тип	Дробь
I	$\dfrac{A}{x - a}$
II	$\dfrac{A}{(x - a)^k}$ , $k \ge 2$
III	$\dfrac{Mx + N}{x^2 + px + q}$ , $\;p^2 - 4q < 0$
IV	$\dfrac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$ , $k \ge 2$

Значит, умея интегрировать эти четыре типа, мы умеем интегрировать любую рациональную функцию. Как раскладывать на простейшие — в следующем уроке, а сейчас интегрируем их.

Типы I и II

\int\frac{A\,dx}{x - a} = A\ln|x - a| + C, \qquad \int\frac{A\,dx}{(x - a)^k} = \frac{A}{(1 - k)(x - a)^{k - 1}} + C.

Это таблица и линейная замена.

Тип III: квадратный трёхчлен

Числитель — константа. Выделяем полный квадрат: $x^2 + px + q = \left(x + \frac p2\right)^2 + b^2$ , где $b^2 = q - \frac{p^2}{4} > 0$ :

\int\frac{dx}{x^2 + px + q} = \frac1b\operatorname{arctg}\frac{x + p/2}{b} + C.

Числитель $Mx + N$ . Выделяем в числителе производную знаменателя $2x + p$ :

Mx + N = \frac M2(2x + p) + \left(N - \frac{Mp}{2}\right).

Первое слагаемое даёт логарифм ( $\int\frac{f'}{f} = \ln|f|$ ), второе — арктангенс:

\int\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}dx = \frac M2\ln(x^2 + px + q) + \left(N - \frac{Mp}{2}\right)\int\frac{dx}{x^2 + px + q}.

Пример. $\int\frac{(x + 3)\,dx}{x^2 - 2x + 5}$ . Производная знаменателя $2x - 2$ , поэтому $x + 3 = \frac12(2x - 2) + 4$ :

\frac12\ln(x^2 - 2x + 5) + 4\int\frac{dx}{(x - 1)^2 + 4} = \frac12\ln(x^2 - 2x + 5) + 2\operatorname{arctg}\frac{x - 1}{2} + C.

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
for f in [(x + 3) / (x**2 - 2*x + 5), 1 / (x**2 + 4*x + 5), x / (x**2 + 2*x + 2)]:
    print(f"∫ {str(f):24} dx = {sp.integrate(f, x)}")

Если же у трёхчлена есть вещественные корни, он раскладывается на линейные множители — и дробь не простейшая; но её всё равно можно взять «высоким логарифмом» после выделения полного квадрата.

Тип IV: степени трёхчлена

После выделения полного квадрата и производной знаменателя всё сводится к

I_k = \int\frac{dt}{(t^2 + b^2)^k}.

Интегрирование по частям даёт рекуррентную формулу:

I_{k+1} = \frac{1}{2kb^2}\cdot\frac{t}{(t^2 + b^2)^k} + \frac{2k - 1}{2kb^2}\,I_k, \qquad I_1 = \frac1b\operatorname{arctg}\frac tb.

В частности, при $b = 1$ :

\int\frac{dt}{(t^2 + 1)^2} = \frac{t}{2(t^2 + 1)} + \frac12\operatorname{arctg} t + C.

Тот же результат даёт подстановка $t = \operatorname{tg}\theta$ : $\int\cos^2\theta\,d\theta$ .

import sympy as sp

t = sp.symbols("t")
I = {1: sp.atan(t)}
for k in range(1, 4):
    I[k + 1] = t / (2 * k * (t**2 + 1)**k) + sp.Rational(2*k - 1, 2*k) * I[k]
for k in range(1, 5):
    ok = sp.simplify(sp.diff(I[k], t) - 1 / (t**2 + 1)**k) == 0
    print(f"I_{k} = {I[k]}    {'✓' if ok else '✗'}")

Итог

Правильная рациональная дробь — сумма простейших дробей четырёх типов.
I, II — логарифм и степень; III — выделяем в числителе производную знаменателя (логарифм) и полный квадрат в знаменателе (арктангенс).
IV — рекуррентная формула или подстановка $t = \operatorname{tg}\theta$ .

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

\displaystyle\int \frac{5\,dx}{x - 2}

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).