Интегралы: полный курс / Введение и подготовка / урок 5 из 64

Python и SymPy: проверяем вычисления

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 5

Зачем компьютер

Интегралы — тема, где легко ошибиться в знаке или коэффициенте. Компьютер помогает тремя способами:

строит графики — видно, что вы вообще считаете;
считает численно — получаем число, с которым можно сравнить свой ответ;
считает символьно — SymPy находит первообразные и проверяет преобразования.

Но компьютер не заменяет умения: чтобы понять, почему интеграл берётся, надо уметь считать руками. Используйте его как проверку, а не как решебник.

NumPy: численные расчёты

NumPy работает с массивами чисел. Функции np.sin, np.exp, np.log, np.sqrt применяются ко всему массиву сразу:

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(0, np.pi, 9)       # 9 равноотстоящих точек от 0 до π
print(np.round(np.sin(x), 3))

xx = np.linspace(-np.pi, np.pi, 300)
vis.line(xx, {"sin x": np.sin(xx), "sin²x": np.sin(xx)**2, "(1 − cos 2x)/2": (1 - np.cos(2*xx)) / 2 + 0.03},
         title="Графики функций (третий сдвинут на 0,03, чтобы был виден)", xlabel="x")

Численно найти интеграл можно суммой прямоугольников или функцией np.trapz (метод трапеций):

import numpy as np

x = np.linspace(0, np.pi, 100001)
print("∫₀^π sin x dx ≈", np.trapz(np.sin(x), x))
x = np.linspace(0, 1, 100001)
print("∫₀¹ eˣ dx ≈", np.trapz(np.exp(x), x), "   точно: e − 1 =", np.e - 1)

SymPy: символьные вычисления

SymPy работает с формулами, а не с числами. Сначала объявляем символы, затем строим выражения:

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
f = x * sp.exp(x)

F = sp.integrate(f, x)                         # неопределённый интеграл (без + C!)
print("∫ x eˣ dx =", F)
print("проверка: F' =", sp.simplify(sp.diff(F, x)))
print("∫₀¹ x eˣ dx =", sp.integrate(f, (x, 0, 1)))        # определённый интеграл
print("∫₀^∞ e^(−x²) dx =", sp.integrate(sp.exp(-x**2), (x, 0, sp.oo)))
print("численно:", sp.N(sp.integrate(sp.sin(x) / x, (x, 0, 1)), 10))

Полезные функции:

Функция	Что делает
`sp.diff(f, x)`	производная
`sp.integrate(f, x)`	первообразная (без $+C$ )
`sp.integrate(f, (x, a, b))`	определённый интеграл; `sp.oo` — бесконечность
`sp.simplify(e)`, `sp.expand(e)`, `sp.factor(e)`	упростить, раскрыть скобки, разложить на множители
`sp.apart(e)`	разложить дробь на простейшие
`e.subs(x, 2)`	подставить значение
`sp.limit(e, x, 0)`	предел
`sp.N(e)`	вычислить численно
`sp.pi`, `sp.E`, `sp.oo`	$\pi$ , $e$ , $\infty$

Две особенности SymPy, о которых важно помнить:

log — натуральный логарифм, и в ответах SymPy обычно нет модуля: integrate(1/x, x) даёт log(x), хотя правильнее $\ln|x| + C$ ;
константу $C$ SymPy не пишет — добавляйте её сами.

Главное правило: проверка дифференцированием

Первообразные одной функции могут выглядеть совершенно по-разному. Например, $\int \sin x \cos x\,dx$ можно записать как $\frac{\sin^2 x}{2}$ , как $-\frac{\cos^2 x}{2}$ или как $-\frac{\cos 2x}{4}$ — и всё это верно, потому что эти функции отличаются на константы.

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
answers = [sp.sin(x)**2 / 2, -sp.cos(x)**2 / 2, -sp.cos(2*x) / 4]
for F in answers:
    print(f"F = {str(F):16}  F' = {sp.simplify(sp.diff(F, x))}")
print("разности:", sp.simplify(answers[0] - answers[1]), ",", sp.simplify(answers[0] - answers[2]))

Все три производные одинаковы, а разности ответов — константы. Поэтому сравнивать ответ с задачником «по виду» бессмысленно: дифференцируйте. Так же проверяются ответы в этом курсе — численно, с точностью до константы.

Итог

NumPy считает численно: графики, суммы, np.trapz.
SymPy считает символьно: diff, integrate, simplify, apart, limit; без $+C$ и часто без модуля в логарифме.
Первообразную проверяют дифференцированием; разные по виду ответы могут отличаться лишь на константу.

Практика решено 0 из 5

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Один вариант ответа

Вы нашли первообразную $F(x)$ для $f(x)$ . Как надёжнее всего проверить ответ?

Сравнить с ответом в конце задачника — он может отличаться только формой записи Продифференцировать

F

и убедиться, что

F'(x) = f(x)

Подставить

x = 0

Проверить, что

F(x) > 0

Задание 2 Один вариант ответа

SymPy выдал integrate(1/x, x) = log(x). Что важно помнить?

SymPy ошибся log в SymPy — натуральный логарифм, и SymPy не пишет модуль и константу C: полный ответ

\ln|x| + C

Это десятичный логарифм Интеграл не существует

Задание 3 Программа на Python

Проверка первообразной. Напишите функцию is_antiderivative(F, f, xs): она получает две функции Python (F — кандидат в первообразные, f — подынтегральная функция) и список точек xs. Для каждой точки посчитайте численную производную $\frac{F(x + h) - F(x - h)}{2h}$ при $h = 10^{-5}$ и сравните с $f(x)$ : верните True, если во всех точках отличие меньше $10^{-4}$ .

def is_antiderivative(F, f, xs):
    return True

Какие тесты проверяют код (1)

import math
xs = [0.5, 1.0, 1.7, 2.3]
assert is_antiderivative(lambda x: x**3 / 3, lambda x: x**2, xs)
assert is_antiderivative(lambda x: -math.cos(x) + 5, math.sin, xs), "Константа не важна"
assert not is_antiderivative(lambda x: x**3, lambda x: x**2, xs), "x³ — не первообразная x²"
assert not is_antiderivative(lambda x: math.log(x), lambda x: 1 / x**2, xs)

Эталонное решение (ваше может отличаться):

def is_antiderivative(F, f, xs):
    h = 1e-5
    for x in xs:
        d = (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h)
        if abs(d - f(x)) >= 1e-4:
            return False
    return True

Задание 4 Программа на Python

Интегрируем на SymPy. Напишите функцию antiderivative(expr_text): она получает строку с выражением от x (например, "x*exp(x)"), превращает её в выражение SymPy (sp.sympify), находит первообразную (sp.integrate) и возвращает её строкой (str(...)).

import sympy as sp

def antiderivative(expr_text):
    x = sp.symbols("x")
    return expr_text

Какие тесты проверяют код (1)

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
for text in ["x**2", "x*exp(x)", "cos(x)**2", "1/(x**2 + 1)"]:
    F = antiderivative(text)
    assert isinstance(F, str), "Верните строку"
    assert sp.simplify(sp.diff(sp.sympify(F), x) - sp.sympify(text)) == 0, f"Производная ответа для {text} не совпадает с ним"

Эталонное решение (ваше может отличаться):

import sympy as sp

def antiderivative(expr_text):
    x = sp.symbols("x")
    return str(sp.integrate(sp.sympify(expr_text), x))

Задание 5 Программа на Python

Площадь численно. Напишите функцию area(f, a, b, n), которая приближает $\int_a^b f(x)\,dx$ суммой $n$ средних прямоугольников: отрезок делится на $n$ равных частей шириной $h = \frac{b - a}{n}$ , высота каждого прямоугольника — значение $f$ в середине части. Можно использовать NumPy (f принимает массив).

import numpy as np

def area(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    x = np.linspace(a, b, n)
    return np.sum(f(x)) * h

Какие тесты проверяют код (1)

import numpy as np
assert abs(area(lambda x: x**2, 0, 1, 1000) - 1/3) < 1e-6, "∫₀¹ x² dx = 1/3"
assert abs(area(np.sin, 0, np.pi, 1000) - 2) < 1e-5, "∫₀^π sin x dx = 2"
assert abs(area(lambda x: x, 0, 2, 1) - 2) < 1e-12, "Для линейной функции средние прямоугольники точны даже при n = 1"
assert abs(area(lambda x: x**2, 0, 1, 2) - 0.3125) < 1e-12, "При n = 2 середины — 0.25 и 0.75"

Эталонное решение (ваше может отличаться):

import numpy as np

def area(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    mids = a + h * (np.arange(n) + 0.5)
    return float(np.sum(f(mids)) * h)

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.