Интегралы: полный курс / Криволинейные и поверхностные интегралы / урок 61 из 64

Практикум: векторный анализ

⏱ 60 мин · 🧩 заданий: 15

Указания

1–3: интегралы первого рода
  • 1. x = y = t, ds = \sqrt2\,dt: \int_0^1 2t\sqrt2\,dt.
  • 2. x = 2\cos t, y = 2\sin t, ds = 2\,dt: \int_0^\pi 4\sin t\,dt.
  • 3. |\vec r\,'| = \sqrt{\sin^2t + \cos^2t + 1} = \sqrt2.
4–10: интегралы второго рода, Грин, потенциал
  • 4. y\,dx + x\,dy = d(xy), ответ xy\big|_{(0,0)}^{(1,1)}. Или напрямую: x^2\,dx + x\cdot2x\,dx.
  • 5. x\,dy - y\,dx = (\cos^2t + \sin^2t)\,dt.
  • 6. y\,dx - x\,dy = (-\sin^2t - \cos^2t)\,dt. Поле закручено по часовой стрелке — против движения.
  • 7. Q_x - P_y = 3x^2 + 3y^2; в полярных \iint 3r^2\cdot r\,dr\,d\varphi.
  • 8. x = 2\cos t, y = \sin t: \frac12\int_0^{2\pi}(2\cos^2t + 2\sin^2t)\,dt.
  • 9. u_x = 2xy + 1 \Rightarrow u = x^2y + x + \varphi(y); u_y = x^2 + \varphi'(y) = x^2 + 3y^2 \Rightarrow \varphi = y^3.
  • 10. u(1, 2) = 2 + 1 + 8. Ломаная (0,0)\to(1,0)\to(1,2): \int_0^1 dx + \int_0^2(1 + 3y^2)\,dy = 1 + 10.
11–15: поверхности, Гаусс, Стокс
  • 11. \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt3, проекция — круг площади \pi.
  • 12. На сфере x^2 + y^2 + z^2 = 4, площадь 16\pi.
  • 13. \vec N = (1, 1, 1) (вверх), \vec F\cdot\vec N = x + y + z = 1; площадь проекции \frac12.
  • 14. \operatorname{div}\vec F = 1 + 1 + 2z; \iiint(2 + 2z)\,dV = \pi\int_0^1(2 + 2z)\,dz.
  • 15. \operatorname{rot}\vec F = (1, 1, 1). Натягиваем сам треугольник: плоскость x + y + z = 1, нормаль (1, 1, 1) согласована с обходом (с её конца обход виден против часовой стрелки). Поток \iint 3\,dx\,dy по проекции площади \frac12.
import sympy as sp

x, y, z, t = sp.symbols("x y z t", real=True)

def work(P, Q, R, path, t0, t1):
    """∫ P dx + Q dy + R dz вдоль пути path(t) = (x, y, z)."""
    X, Y, Z = path
    P, Q, R = map(sp.sympify, (P, Q, R))
    sub = {x: X, y: Y, z: Z}
    expr = P.subs(sub) * sp.diff(X, t) + Q.subs(sub) * sp.diff(Y, t) + R.subs(sub) * sp.diff(Z, t)
    return sp.integrate(sp.simplify(expr), (t, t0, t1))

print("4:", work(y, x, 0, (t, t**2, 0), 0, 1))
print("6:", work(y, -x, 0, (sp.cos(t), sp.sin(t), 0), 0, 2 * sp.pi))
print("10 по прямой y = 2x:", work(2*x*y + 1, x**2 + 3*y**2, 0, (t, 2*t, 0), 0, 1))
# 15: три стороны треугольника
A, B, C = sp.Matrix([1, 0, 0]), sp.Matrix([0, 1, 0]), sp.Matrix([0, 0, 1])
total = sum(work(z, x, y, tuple(p + t * (q - p)), 0, 1) for p, q in [(A, B), (B, C), (C, A)])
print("15:", total)

Практика решено 0 из 15

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_L (x + y)\,ds, L — отрезок от (0, 0) до (1, 1).
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 2 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_L y\,ds, L — верхняя полуокружность x^2 + y^2 = 4, y \ge 0.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 3 Ввод формулы
  1. Длина витка винтовой линии x = \cos t, y = \sin t, z = t, 0 \le t \le 2\pi.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 4 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_L y\,dx + x\,dy, L — дуга параболы y = x^2 от (0, 0) до (1, 1).
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 5 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_L x\,dy - y\,dx, L — верхняя полуокружность x = \cos t, y = \sin t, t от 0 до \pi.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 6 Ввод формулы
  1. Работа поля \vec F = (y, -x) вдоль единичной окружности против часовой стрелки.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 7 Ввод формулы
  1. \displaystyle\oint_L -y^3\,dx + x^3\,dy, L — единичная окружность против часовой стрелки.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 8 Ввод формулы
  1. Площадь эллипса \frac{x^2}{4} + y^2 \le 1 по формуле S = \frac12\oint x\,dy - y\,dx.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 9 Ввод формулы
  1. Найдите потенциал u(x, y) поля \vec F = (2xy + 1,\; x^2 + 3y^2) с условием u(0, 0) = 0.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: x, y.

Задание 10 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_{(0,0)}^{(1,2)} (2xy + 1)\,dx + (x^2 + 3y^2)\,dy по любому пути.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 11 Ввод формулы
  1. Площадь части плоскости z = x + y, лежащей над кругом x^2 + y^2 \le 1.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 12 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iint_S (x^2 + y^2 + z^2)\,dS, S — сфера радиуса 2.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 13 Ввод формулы
  1. Поток \vec F = (x, y, z) через верхнюю сторону части плоскости x + y + z = 1 в первом октанте.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 14 Ввод формулы
  1. Поток \vec F = (x, y, z^2) через полную поверхность цилиндра x^2 + y^2 \le 1, 0 \le z \le 1, наружу.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 15 Ввод формулы
  1. Циркуляция \vec F = (z, x, y) по контуру треугольника (1, 0, 0) \to (0, 1, 0) \to (0, 0, 1) \to (1, 0, 0).
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.