Интегралы: полный курс
Полный курс интегрального исчисления — от идеи площади под графиком до формул Грина, Гаусса и Стокса. Неопределённый интеграл и все основные методы интегрирования, определённый интеграл и основная теорема анализа, приложения в геометрии, физике и теории вероятностей, несобственные интегралы, гамма-функция, численные методы, интегралы с параметром, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. В каждом уроке — разобранные примеры, графики и вычисления на Python (NumPy и SymPy прямо в браузере) и много задач: ответ вводится формулой и проверяется автоматически, первообразная — с точностью до константы. В конце — подготовка к экзамену.
Введение и подготовка
Что такое интеграл, и всё, что нужно повторить перед началом: производные, элементарные функции, суммы. Python и SymPy как помощник в вычислениях.
Неопределённый интеграл
Первообразная, таблица интегралов и все основные методы: подведение под дифференциал, замена переменной, по частям, рациональные дроби, тригонометрические и иррациональные интегралы.
- Первообразная и неопределённый интеграл
- Таблица основных интегралов
- Линейность и простые преобразования
- Подведение под знак дифференциала
- Замена переменной
- Интегрирование по частям
- Простейшие рациональные дроби
- Интегрирование рациональных функций
- Тригонометрические интегралы
- Универсальная подстановка
- Интегрирование иррациональностей
- Неберущиеся интегралы
- Как выбрать метод
- Практикум 1: неопределённые интегралы
- Практикум 2: интегралы посложнее
Определённый интеграл
Интегральные суммы, свойства, теорема о среднем, основная теорема анализа и формула Ньютона–Лейбница, замена переменной и симметрия.
Приложения определённого интеграла
Площади, объёмы, длины дуг и площади поверхностей, физика (путь, работа, давление, центр масс) и теория вероятностей.
Несобственные интегралы
Бесконечные пределы и неограниченные функции, признаки сходимости, абсолютная и условная сходимость, гамма- и бета-функции.
Численное интегрирование
Когда первообразную не найти: прямоугольники, трапеции, Симпсон, оценки погрешности, правило Рунге и метод Монте-Карло.
Интегралы, зависящие от параметра
Непрерывность и дифференцирование по параметру, трюк Фейнмана, интеграл Дирихле.
Кратные интегралы
Двойные и тройные интегралы: повторные интегралы и порядок интегрирования, замена переменных и якобиан, полярные, цилиндрические и сферические координаты, приложения.
Криволинейные и поверхностные интегралы
Интегралы по кривым и поверхностям, работа и поток векторного поля, формулы Грина, Гаусса–Остроградского и Стокса.
Подготовка к экзамену
Теория в вопросах и ответах, типовые задачи с разбором и пробный экзамен.