Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 14 из 64

Тригонометрические интегралы

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 13

Интегралы $\int\sin^m x\cos^n x\,dx$

Всё зависит от чётности степеней.

Хотя бы одна степень нечётная

Отщепляем один множитель нечётной степени и заносим под дифференциал, а остаток выражаем через другую функцию с помощью $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ .

Нечётная степень косинуса ( $n = 2k + 1$ ): $\cos x\,dx = d(\sin x)$ , $\cos^{2k}x = (1 - \sin^2 x)^k$ .

\int\sin^2 x\cos^3 x\,dx = \int\sin^2 x(1 - \sin^2 x)\,d(\sin x) = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C.

Нечётная степень синуса: $\sin x\,dx = -d(\cos x)$ .

\int\sin^3 x\,dx = -\int(1 - \cos^2 x)\,d(\cos x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C.

Если нечётны обе степени, выбираем меньшую.

Обе степени чётные

Понижаем степень формулами

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \qquad \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2},

иногда несколько раз, пока не останутся первые степени косинусов кратных углов.

\int\sin^4 x\,dx = \int\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2dx = \int\left(\frac38 - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos 4x}{8}\right)dx = \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C.

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
for f in [sp.sin(x)**2 * sp.cos(x)**3, sp.sin(x)**3, sp.sin(x)**4, sp.sin(x)**2 * sp.cos(x)**2]:
    F = sp.integrate(f, x)
    print(f"∫ {str(f):22} dx = {F}")
    print(f"   через кратные углы: {sp.expand(sp.fu(sp.expand_trig(F)))}")

Ответы SymPy и ручные могут различаться по виду — это нормально: они отличаются на константу.

Произведения с разными аргументами

$\int\sin ax\cos bx\,dx$ , $\int\cos ax\cos bx\,dx$ , $\int\sin ax\sin bx\,dx$ превращаем в суммы:

\sin\alpha\cos\beta = \tfrac12\big(\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)\big), \quad \cos\alpha\cos\beta = \tfrac12\big(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\big), \quad \sin\alpha\sin\beta = \tfrac12\big(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\big).

\int\sin 3x\cos 5x\,dx = \frac12\int(\sin 8x - \sin 2x)\,dx = -\frac{\cos 8x}{16} + \frac{\cos 2x}{4} + C.

Эти формулы — основа рядов Фурье: при целых $m \ne n$ интеграл $\int_0^{2\pi}\sin mx\sin nx\,dx = 0$ — синусы разных частот «ортогональны».

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 600)
vis.line(x, {"sin 2x · sin 3x": np.sin(2*x) * np.sin(3*x), "sin²(3x)": np.sin(3*x)**2},
         title="Площади: ∫₀^{2π} sin 2x sin 3x dx = 0, а ∫₀^{2π} sin²3x dx = π", xlabel="x")
print("∫ sin2x·sin3x ≈", round(float(np.trapz(np.sin(2*x) * np.sin(3*x), x)), 6))
print("∫ sin²3x ≈", round(float(np.trapz(np.sin(3*x)**2, x)), 6), "   π =", round(np.pi, 6))

Тангенс и котангенс

Для $\int\operatorname{tg}^n x\,dx$ используем $\operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ :

\int\operatorname{tg}^n x\,dx = \int\operatorname{tg}^{n-2}x\,d(\operatorname{tg} x) - \int\operatorname{tg}^{n-2}x\,dx = \frac{\operatorname{tg}^{n-1}x}{n - 1} - \int\operatorname{tg}^{n-2}x\,dx.

Это рекуррентная формула: степень понижается на 2 за шаг.

Для чётных степеней $\frac{1}{\cos x}$ : $\frac{dx}{\cos^2 x} = d(\operatorname{tg} x)$ , а $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x$ . Для нечётных степеней ( $\int\frac{dx}{\cos x}$ , $\int\frac{dx}{\cos^3 x}$ ) — умножение на $\cos x$ или интегрирование по частям.

Сводка: когда что делать

Вид	Приём
$\sin^m x\cos^n x$ , $n$ нечётно	$t = \sin x$
$\sin^m x\cos^n x$ , $m$ нечётно	$t = \cos x$
$m, n$ чётные, $\ge 0$	понижение степени
$m + n$ — чётное отрицательное ( $\frac{\sin^2 x}{\cos^6 x}$ , $\frac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}$ )	$t = \operatorname{tg} x$
разные аргументы	произведение в сумму
всё остальное	универсальная подстановка (следующий урок)

Итог

Нечётная степень — отщепить один множитель под дифференциал; чётные — понижать степень.
Разные аргументы — формулы произведения в сумму.
Степени тангенса — через $\operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ ; чётная отрицательная сумма степеней — замена $t = \operatorname{tg} x$ .

Практика решено 0 из 13

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

\displaystyle\int \sin^3 x\,dx

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).