Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 16 из 64

Интегрирование иррациональностей

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 10

Общая идея

Интегралы с корнями обычно не берутся «в лоб». Задача — подобрать замену, которая уничтожит корень и сведёт интеграл к рациональному (или к уже известному тригонометрическому).

Дробно-линейные иррациональности

Если под интегралом стоят корни разных степеней из одного выражения $\frac{ax + b}{cx + d}$ (в частности, из $ax + b$ или из $x$ ), делаем замену

t = \sqrt[n]{\frac{ax + b}{cx + d}},

где $n$ — наименьшее общее кратное показателей всех корней. Тогда $x$ — рациональная функция $t$ , и все корни — степени $t$ .

Пример. $\int\frac{\sqrt{x}\,dx}{1 + \sqrt[4]{x}}$ . Корни степеней 2 и 4, $n = 4$ : $x = t^4$ , $dx = 4t^3dt$ .

\int\frac{t^2\cdot 4t^3}{1 + t}dt = 4\int\frac{t^5}{1 + t}dt,

— интеграл от рациональной дроби.

Корень из квадратного трёхчлена

Интегралы $\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$ . Выделяем полный квадрат и получаем табличный интеграл:

a > 0: \quad \frac{1}{\sqrt a}\ln\left|x + \frac{b}{2a} + \sqrt{x^2 + \frac ba x + \frac ca}\right| + C; \qquad a < 0: \quad \text{арксинус}.

Интегралы $\int\frac{(Mx + N)\,dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$ — как и для рациональных дробей, выделяем в числителе производную подкоренного выражения: $\int\frac{f'}{\sqrt f}dx = 2\sqrt f + C$ , а остаток — предыдущий тип.

\int\frac{(2x + 5)\,dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \int\frac{(2x + 2)\,dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} + 3\int\frac{dx}{\sqrt{(x + 1)^2 + 1}} = 2\sqrt{x^2 + 2x + 2} + 3\ln\left(x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 2}\right) + C.

Тригонометрические подстановки

Корень	Подстановка	Что получается
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin t$	$a\cos t$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a\operatorname{tg} t$	$\frac{a}{\cos t}$
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = \frac{a}{\cos t}$	$a\operatorname{tg} t$

Часто удобнее гиперболические: $x = a\operatorname{sh} t$ для $\sqrt{x^2 + a^2}$ (так как $1 + \operatorname{sh}^2 t = \operatorname{ch}^2 t$ ) и $x = a\operatorname{ch} t$ для $\sqrt{x^2 - a^2}$ .

Пример. $\int\sqrt{1 + x^2}\,dx$ , замена $x = \operatorname{sh} t$ , $dx = \operatorname{ch} t\,dt$ :

\int\operatorname{ch}^2 t\,dt = \int\frac{1 + \operatorname{ch} 2t}{2}dt = \frac t2 + \frac{\operatorname{sh} 2t}{4} + C = \frac{\operatorname{arsh} x}{2} + \frac{x\sqrt{1 + x^2}}{2} + C,

где $\operatorname{arsh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ .

import sympy as sp

x = sp.symbols("x", positive=True)
for f in [sp.sqrt(1 + x**2), x**2 / sp.sqrt(1 - x**2), 1 / (x**2 * sp.sqrt(1 + x**2)), (2*x + 5) / sp.sqrt(x**2 + 2*x + 2)]:
    F = sp.integrate(f, x)
    print(f"∫ {str(f):30} dx = {sp.simplify(F)}")

SymPy записывает $\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ как asinh(x) — это одна и та же функция.

Подстановки Эйлера

Для $\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right)dx$ с произвольной рациональной $R$ существуют замены, всегда сводящие интеграл к рациональному:

при $a > 0$ : $\sqrt{ax^2 + bx + c} = t - \sqrt a\,x$ ;
при $c > 0$ : $\sqrt{ax^2 + bx + c} = xt + \sqrt c$ ;
если трёхчлен имеет корни $x_1, x_2$ : $\sqrt{a(x - x_1)(x - x_2)} = t(x - x_1)$ .

Возведя в квадрат, получаем линейное уравнение относительно $x$ — значит, $x$ , $dx$ и корень рационально выражаются через $t$ . На практике это часто громоздко, и сначала пробуют тригонометрические подстановки.

Дифференциальный бином

Интеграл $\int x^m(a + bx^n)^p\,dx$ с рациональными $m, n, p$ называется дифференциальным биномом. Чебышёв доказал: он выражается через элементарные функции только в трёх случаях:

$p$ — целое;
$\frac{m + 1}{n}$ — целое (замена $a + bx^n = t^s$ , $s$ — знаменатель $p$ );
$\frac{m + 1}{n} + p$ — целое (замена $ax^{-n} + b = t^s$ ).

Например, $\int\sqrt{1 + x^3}\,dx$ : $m = 0$ , $n = 3$ , $p = \frac12$ — ни один случай не подходит, и интеграл не берётся. А $\int x^5\sqrt{1 + x^3}\,dx$ : $\frac{m + 1}{n} = 2$ — берётся заменой $1 + x^3 = t^2$ .

Итог

Корни из $\frac{ax + b}{cx + d}$ — замена $t = \sqrt[n]{\cdot}$ с $n$ = НОК показателей.
Корень из трёхчлена — выделить полный квадрат; затем табличные формулы или подстановки $x = a\sin t$ , $a\operatorname{tg} t$ , $\frac{a}{\cos t}$ (или гиперболические).
Подстановки Эйлера работают всегда, но громоздко; дифференциальный бином берётся только в трёх случаях Чебышёва.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}$ (замена $x = t^6$ )

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).