Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 8 из 64

Линейность и простые преобразования

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 14

Линейность

Из правил дифференцирования $(F + G)' = F' + G'$ и $(kF)' = kF'$ сразу следует:

\int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx, \qquad \int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \quad (k \ne 0).

Вместе: интеграл линейной комбинации — линейная комбинация интегралов. Константы от разных слагаемых объединяются в одну $C$ .

\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 6\cdot\frac{x^3}{3} - 4\cdot\frac{x^2}{2} + 3x + C = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C

Метод разложения

Для произведений и частных простой формулы нет. Поэтому подынтегральную функцию сначала превращают в сумму табличных:

Раскрыть скобки:

\int (x^2 + 1)(x - 2)\,dx = \int (x^3 - 2x^2 + x - 2)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x + C

Поделить почленно и перейти к степеням:

\int \frac{x^2 - 3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}\,dx = \int \left(x^{3/2} - 3 + 2x^{-1/2}\right)dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - 3x + 4\sqrt{x} + C

Тригонометрические формулы:

\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

\int \operatorname{ctg}^2 x\,dx = \int\left(\frac{1}{\sin^2 x} - 1\right)dx = -\operatorname{ctg} x - x + C

Искусственно добавить и вычесть:

\int \frac{x^2}{1 + x^2}\,dx = \int \frac{(1 + x^2) - 1}{1 + x^2}\,dx = x - \operatorname{arctg} x + C

Линейная замена: $\int f(kx + b)\,dx$

Если $\int f(t)\,dt = F(t) + C$ , то

\int f(kx + b)\,dx = \frac{1}{k}F(kx + b) + C.

Проверка: $\left(\frac1k F(kx + b)\right)' = \frac1k F'(kx + b)\cdot k = f(kx + b)$ . Правило: вместо $x$ подставляем $kx + b$ и делим на $k$ .

\int \cos 3x\,dx = \frac{\sin 3x}{3} + C, \qquad \int e^{-x/2}dx = -2e^{-x/2} + C, \qquad \int (5x - 1)^{10}dx = \frac{(5x-1)^{11}}{55} + C

\int \frac{dx}{3 - 4x} = -\frac14\ln|3 - 4x| + C, \qquad \int \frac{dx}{1 + 9x^2} = \frac13\operatorname{arctg} 3x + C

Это частный случай замены переменной, которую мы разберём дальше, но встречается он так часто, что его стоит делать «в уме».

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
examples = [sp.cos(3*x), sp.exp(-x/2), (5*x - 1)**10, 1 / (1 + 9*x**2), sp.sin(x)**2, x**2 / (1 + x**2)]
for f in examples:
    F = sp.integrate(f, x)
    print(f"∫ {str(f):14} dx = {sp.simplify(F) if f != (5*x - 1)**10 else sp.factor(F)}")

Обратите внимание: для $(5x-1)^{10}$ SymPy возвращает раскрытый многочлен, отличающийся от $\frac{(5x-1)^{11}}{55}$ на константу.

Сравним с численным ответом

Хорошая привычка — сверить первообразную с численным интегралом: $F(b) - F(a)$ должна совпасть с площадью под графиком (это формула Ньютона–Лейбница, о ней — в следующем модуле).

import numpy as np

F = lambda x: x / 2 - np.sin(2 * x) / 4       # наша первообразная sin²x
x = np.linspace(0, 2, 200001)
print("F(2) − F(0)     =", F(2) - F(0))
print("численный ∫₀² sin²x dx =", np.trapz(np.sin(x)**2, x))

Итог

$\int (af + bg)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx$ .
Метод разложения: раскрыть скобки, поделить почленно, корни — в степени, тригонометрия — понижением степени и формулами произведения.
$\int f(kx + b)\,dx = \frac1k F(kx + b) + C$ .

Практика решено 0 из 14

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

\displaystyle\int (4x^3 - 6x + 5)\,dx

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).