Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 18 из 64

Как выбрать метод

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 10

План решения

Когда перед вами незнакомый интеграл, пройдите по шагам:

1. Упростить. Раскрыть скобки, поделить почленно, переписать корни как степени, применить тригонометрические тождества, сократить. Очень часто после этого интеграл уже табличный.

2. Поискать производную «внутренней» функции. Если в подынтегральном выражении есть $g(x)$ и множитель, пропорциональный $g'(x)$ — подведение под дифференциал (замена $t = g(x)$ ). Это самый частый случай!

$\frac{\text{что-то}}{x}$ при наличии $\ln x$ → $t = \ln x$ ;
$\frac{\text{что-то}}{1 + x^2}$ при наличии $\operatorname{arctg} x$ → $t = \operatorname{arctg} x$ ;
$\frac{\text{что-то}}{\cos^2 x}$ при наличии $\operatorname{tg} x$ → $t = \operatorname{tg} x$ ;
числитель — производная знаменателя → логарифм.

3. Определить класс функции:

Вид	Метод
многочлен × ( $e^{ax}$ , $\sin$ , $\cos$ )	по частям, $u$ = многочлен
многочлен × ( $\ln$ , $\arcsin$ , $\operatorname{arctg}$ )	по частям, $u$ = $\ln$ и т. д.
$e^{ax}\sin bx$ , $e^{ax}\cos bx$	дважды по частям, уравнение
рациональная дробь	целая часть, простейшие дроби
$\sin^m x\cos^n x$	нечётная степень → замена; чётные → понижение
$R(\sin x, \cos x)$	частные подстановки или $t = \operatorname{tg}\frac x2$
корни из линейных выражений	$t = \sqrt[n]{ax + b}$
$\sqrt{a^2 \pm x^2}$ , $\sqrt{x^2 - a^2}$	тригонометрические подстановки
корень из трёхчлена	полный квадрат
$R(e^x)$	$t = e^x$

4. Если не получается — попробовать другую замену, комбинировать методы (замена → по частям) или признать, что интеграл неберущийся (проверить по списку из прошлого урока).

5. Проверить ответ дифференцированием.

Разбор: три интеграла с нуля

$\int\frac{x + \operatorname{arctg}x}{1 + x^2}\,dx$ . Шаг 1: делим почленно:

\int\frac{x\,dx}{1 + x^2} + \int\frac{\operatorname{arctg}x\,dx}{1 + x^2} = \frac12\ln(1 + x^2) + \frac{\operatorname{arctg}^2x}{2} + C.

$\int\frac{dx}{x(1 + \ln^2x)}$ . Шаг 2: есть $\ln x$ и множитель $\frac1x$ : $t = \ln x$ ,

\int\frac{dt}{1 + t^2} = \operatorname{arctg}(\ln x) + C.

$\int x^3 e^{x^2}dx$ . Подведение: $x\,dx = \frac12d(x^2)$ , затем $t = x^2$ и по частям:

\frac12\int t\,e^t\,dt = \frac12(t - 1)e^t + C = \frac{(x^2 - 1)e^{x^2}}{2} + C.

import sympy as sp

x = sp.symbols("x", positive=True)
for f in [(x + sp.atan(x)) / (1 + x**2), 1 / (x * (1 + sp.log(x)**2)), x**3 * sp.exp(x**2), sp.exp(sp.sqrt(x))]:
    F = sp.integrate(f, x)
    print(f"∫ {str(f):24} dx = {sp.simplify(F)}")
    assert sp.simplify(sp.diff(F, x) - f) == 0

Ловушки

Похожие, но разные: $\int\frac{dx}{1 + x^2} = \operatorname{arctg} x$ , но $\int\frac{x\,dx}{1 + x^2} = \frac12\ln(1 + x^2)$ и $\int\frac{dx}{1 - x^2} = \frac12\ln\left|\frac{1 + x}{1 - x}\right|$ .
$\int\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x$ , но $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}}$ — «длинный логарифм».
Константа после подведения: $\int e^{3x}dx = \frac13e^{3x}$ , а не $3e^{3x}$ .
Модуль в логарифме: $\ln|x - 2|$ , а не $\ln(x - 2)$ .
Разный вид ответа — не ошибка: $\frac{\sin^2 x}{2}$ и $-\frac{\cos 2x}{4}$ — оба верны для $\int\sin x\cos x\,dx$ .

Итог

Упростить → искать производную внутренней функции → определить класс → проверить дифференцированием. Самые частые методы — подведение под дифференциал и интегрирование по частям; универсальные, но громоздкие — простейшие дроби и универсальная подстановка.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Заполнить таблицу

Какой метод сработает первым?

	подведение под $d$	по частям	простейшие дроби	понижение степени
$\int \frac{x\,dx}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\int x^2\ln x\,dx$
$\int \frac{dx}{x^2 - 5x + 6}$
$\int \cos^2 4x\,dx$
$\int \frac{e^{\operatorname{tg} x}}{\cos^2 x}\,dx$
$\int x\operatorname{arctg} x\,dx$

Отметьте ячейку — «+», пустая — «−».

Задание 2 Ввод формулы

\displaystyle\int \frac{e^{\operatorname{tg} x}}{\cos^2 x}\,dx

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).