Интегральные суммы и определение

От площади к определению

Во вводном уроке интеграл был площадью под графиком. Но что такое площадь криволинейной фигуры? Это нужно определить, и определение даёт сам интеграл.

Пусть функция f задана на отрезке [a; b].

1. Разбиение. Выберем точки a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b. Длины частей \Delta x_k = x_k - x_{k-1}, а мелкость (диаметр) разбиения \lambda = \max\Delta x_k.
2. Отмеченные точки. На каждом отрезке [x_{k-1}; x_k] выберем точку \xi_k.
3. Интегральная сумма Римана:
   \sigma = \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\,\Delta x_k.
   Геометрически — сумма площадей прямоугольников высоты f(\xi_k) (со знаком: где f < 0, вклад отрицательный).

Определение. Число I называется определённым интегралом функции f по отрезку [a; b], если интегральные суммы стремятся к I при \lambda \to 0 — независимо от выбора разбиений и отмеченных точек:

Если такой предел существует, f называется интегрируемой по Риману на [a; b]. Числа a и b — нижний и верхний пределы интегрирования.

Обратите внимание: определённый интеграл — число, а неопределённый — семейство функций. Связь между ними — основная теорема анализа, через два урока.

Попробуйте сами

Меняйте функцию, способ выбора точек и число отрезков. При росте n все суммы сходятся к одному числу — интегралу.

Вычисление по определению

Если заранее известно, что функция интегрируема, предел можно искать по удобным разбиениям: равные части, \xi_k — правые концы.

Пример. \int_0^1 x^2dx. При h = \frac1n, \xi_k = \frac kn:

Обратно, некоторые пределы сумм удобно считать как интегралы:

import numpy as np
import vis

def riemann(f, a, b, n, shift):
    h = (b - a) / n
    return h * np.sum(f(a + (np.arange(n) + shift) * h))

ns = np.arange(1, 61)
f = lambda x: 1 / (1 + x)
vis.line(ns, {"левые": [riemann(f, 0, 1, n, 0) for n in ns],
              "правые": [riemann(f, 0, 1, n, 1) for n in ns],
              "средние": [riemann(f, 0, 1, n, 0.5) for n in ns],
              "ln 2": [np.log(2)] * len(ns)},
         title="Суммы для ∫₀¹ dx/(1 + x) сходятся к ln 2", xlabel="n")

Суммы Дарбу

Чтобы не перебирать все отмеченные точки, используют крайние значения. Пусть m_k = \inf f и M_k = \sup f на [x_{k-1}; x_k].

Любая интегральная сумма лежит между ними: s \le \sigma \le S. При добавлении точек разбиения нижняя сумма не уменьшается, верхняя не увеличивается.

Критерий интегрируемости. Ограниченная функция интегрируема тогда и только тогда, когда

Какие функции интегрируемы

• Необходимое условие: интегрируемая функция ограничена. (У неограниченной можно выбрать \xi_k так, что сумма будет сколь угодно большой.)
• Непрерывные на отрезке функции интегрируемы: по теореме Кантора они равномерно непрерывны, и колебания \omega_k сразу все малы.
• Монотонные функции интегрируемы: \sum\omega_k\Delta x_k \le \lambda\,|f(b) - f(a)|.
• Ограниченные функции с конечным числом точек разрыва интегрируемы. (Общая теорема Лебега: ограниченная функция интегрируема по Риману ⇔ множество её точек разрыва имеет меру нуль.)
• Изменение функции в конечном числе точек не меняет ни интегрируемости, ни значения интеграла.

Пример неинтегрируемой функции — функция Дирихле D(x) = 1 при рациональных x и 0 при иррациональных. На любом отрезке M_k = 1, m_k = 0, поэтому S = b - a, s = 0 при любом разбиении.

Итог

• \int_a^b f\,dx = \lim_{\lambda\to0}\sum f(\xi_k)\Delta x_k — предел интегральных сумм, не зависящий от разбиения и выбора точек.
• Интегрируемая функция ограничена; непрерывные, монотонные и кусочно-непрерывные функции интегрируемы.
• Критерий: верхняя и нижняя суммы Дарбу сближаются при измельчении разбиения.