Интегралы: полный курс / Введение и подготовка / урок 2 из 64

Повторение: производные и дифференциал

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 12

Зачем повторять производные

Весь неопределённый интеграл — это вопрос «производная какой функции равна данной?». Чтобы отвечать на него, нужно видеть производные «насквозь»: узнавать в $2x\cos(x^2)$ результат дифференцирования $\sin(x^2)$ , а в $\frac{1}{x}$ — производную логарифма. Поэтому этот урок — разминка перед основной работой.

Производная: определение и смысл

Производная функции $f$ в точке $x$ — предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Геометрически — угловой коэффициент касательной к графику. Физически — мгновенная скорость изменения: если $s(t)$ — путь, то $s'(t)$ — скорость.

import numpy as np

f = np.sin
x0 = 1.0
for h in [0.1, 0.01, 0.001, 1e-5]:
    print(f"h = {h:<6}: (f(x+h) - f(x)) / h = {(f(x0 + h) - f(x0)) / h:.8f}")
print(f"точно: cos(1) = {np.cos(x0):.8f}")

Таблица производных

Функция	Производная	Функция	Производная
$C$ (константа)	$0$	$\sin x$	$\cos x$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$\cos x$	$-\sin x$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\operatorname{tg} x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\operatorname{ctg} x$	$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$
$e^x$	$e^x$	$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$a^x$	$a^x \ln a$	$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$\operatorname{arctg} x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$\operatorname{arcctg} x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$

Ещё две строки, которые часто встречаются: $(\operatorname{sh} x)' = \operatorname{ch} x$ , $(\operatorname{ch} x)' = \operatorname{sh} x$ (гиперболические синус и косинус, $\operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ , $\operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ ), и $(\ln|x|)' = \frac1x$ для всех $x \ne 0$ — к этому мы вернёмся.

Прочитайте таблицу справа налево — и получите почти готовую таблицу интегралов.

Правила дифференцирования

(u \pm v)' = u' \pm v', \qquad (Cu)' = Cu'

(uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Производная сложной функции (цепное правило) — самое важное для интегрирования:

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Сначала производная «внешней» функции по её аргументу, затем умножение на производную «внутренней». Например:

\left(\sin(x^2)\right)' = \cos(x^2) \cdot 2x, \qquad \left(e^{-x^2/2}\right)' = e^{-x^2/2} \cdot (-x), \qquad \left(\ln \cos x\right)' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\operatorname{tg} x

Посмотрите на эти примеры с обратной стороны: в результате цепного правила всегда стоит множитель — производная внутренней функции. Когда мы будем интегрировать, именно этот множитель подскажет замену переменной.

Проверим производные на SymPy

SymPy — библиотека символьной математики: она умеет дифференцировать, интегрировать и упрощать формулы. Она работает прямо на странице (первый запуск — несколько секунд, пока библиотека загружается):

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
for f in [x**2 * sp.sin(x), sp.log(x) / x, sp.exp(3 * x**2), sp.atan(2 * x), sp.sqrt(1 - x**2)]:
    print(f"({f})' = {sp.simplify(sp.diff(f, x))}")

Дифференциал

Дифференциал функции $y = f(x)$ — это главная, линейная часть её приращения:

dy = f'(x)\,dx

Здесь $dx$ — приращение аргумента, а $dy$ — приращение по касательной. При малых $dx$ : $\Delta y \approx dy$ .

Зачем это нужно? Запись $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ можно понимать как настоящую дробь, а с дифференциалами можно обращаться как с алгебраическими величинами. Это делает интегральное исчисление очень удобным:

$d(x^2) = 2x\,dx$ , $\quad d(\sin x) = \cos x\,dx$ , $\quad d(\ln x) = \frac{dx}{x}$ , $\quad d(e^x) = e^x\,dx$ ;
$d(ax + b) = a\,dx$ , то есть $dx = \frac{1}{a}\,d(ax + b)$ — под дифференциалом можно прибавлять константы и делить на них.

В записи интеграла $\int f(x)\,dx$ множитель $dx$ — не украшение, а дифференциал. Скоро мы научимся «подводить под дифференциал»: например, $\cos x\,dx = d(\sin x)$ , и тогда

\int \sin^2 x \cos x\,dx = \int \sin^2 x \; d(\sin x) = \frac{\sin^3 x}{3} + C

import numpy as np

# Δy и dy для y = x² в точке x = 3
x0 = 3.0
for dx in [1, 0.1, 0.01]:
    delta_y = (x0 + dx) ** 2 - x0 ** 2
    dy = 2 * x0 * dx
    print(f"dx = {dx:<5}: Δy = {delta_y:.4f}, dy = {dy:.4f}, разница = {delta_y - dy:.6f} (= dx²)")

Разница между $\Delta y$ и $dy$ равна $dx^2$ — она исчезает гораздо быстрее, чем само $dx$ .

Итог

Производная — скорость изменения и наклон касательной; таблицу производных нужно знать наизусть.
Правила: суммы, произведения, частного и цепное правило $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x))\,g'(x)$ .
Дифференциал $dy = f'(x)\,dx$ ; под знаком дифференциала можно прибавлять константы: $d(x + 5) = dx$ , и выносить множители: $d(3x) = 3\,dx$ .

Практика решено 0 из 12

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Найдите производную: $\left(x^5\right)'$

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).