Оценки и теорема о среднем

Оценка интеграла

Если m \le f(x) \le M на [a; b], то, интегрируя неравенства,

Геометрически: площадь под графиком заключена между площадями двух прямоугольников.

Пример. \int_0^1 e^{-x^2}dx: на [0; 1] функция убывает от 1 до e^{-1}, поэтому 0{,}367 \le I \le 1. Можно точнее: 1 - x^2 \le e^{-x^2} \le 1, откуда \frac23 \le I \le 1. (Точно: I \approx 0{,}7468.)

Теорема о среднем

Теорема. Если f непрерывна на [a; b], то существует точка \xi \in [a; b], такая что

Доказательство. Пусть m и M — наименьшее и наибольшее значения f (они достигаются по теореме Вейерштрасса). Из оценки m \le \frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx \le M, а непрерывная функция принимает все промежуточные значения (теорема Больцано–Коши). \blacksquare

Геометрически: площадь под кривой равна площади прямоугольника с той же шириной и высотой f(\xi) — «излишки» над прямоугольником в точности заполняют «недостачу».

Среднее значение функции

Число

называется средним значением функции на отрезке. Это непрерывный аналог среднего арифметического: если взять n равноотстоящих точек, то \frac1n\sum f(x_k) = \frac{1}{b - a}\sum f(x_k)\Delta x \to \bar f.

Примеры:

• средняя скорость за время [t_1; t_2]: \bar v = \frac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1};
• средняя температура за сутки;
• действующее значение переменного тока — среднее квадратичное: I_{\text{д}} = \sqrt{\frac1T\int_0^T I^2(t)\,dt}.

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(0, np.pi, 400)
f = np.sin(x)
mean = np.trapz(f, x) / np.pi
vis.line(x, {"sin x": f, f"среднее = 2/π ≈ {mean:.3f}": np.full_like(x, mean)},
         title="Площадь под синусом равна площади прямоугольника высоты 2/π", xlabel="x")
xi = np.arcsin(mean)
print(f"ξ = arcsin(2/π) ≈ {xi:.4f} и π − ξ ≈ {np.pi - xi:.4f} — точки, где sin x равен среднему")

Обобщённая теорема о среднем

Если f непрерывна, а g интегрируема и не меняет знак на [a; b], то

для некоторого \xi \in [a; b]. При g \equiv 1 получается обычная теорема. Это удобно для оценок: например, \int_0^1\frac{x^9}{1 + x}dx = \frac{1}{1 + \xi}\cdot\frac{1}{10}, то есть интеграл лежит между \frac{1}{20} и \frac{1}{10}.

Неравенство Коши–Буняковского

Это неравенство |\langle f, g\rangle| \le \|f\|\,\|g\| для «скалярного произведения» функций \langle f, g\rangle = \int_a^b fg\,dx. При g = 1: \left(\int_a^b f\right)^2 \le (b - a)\int_a^b f^2 — квадрат среднего не больше среднего квадрата.

import numpy as np

x = np.linspace(0, 1, 100001)
f, g = np.exp(-x**2), np.sqrt(x)
lhs = np.trapz(f * g, x) ** 2
rhs = np.trapz(f**2, x) * np.trapz(g**2, x)
print(f"(∫fg)² = {lhs:.5f}  ≤  ∫f²·∫g² = {rhs:.5f}")
print(f"∫e^(−x²)dx ≈ {np.trapz(f, x):.5f} — в пределах оценки [2/3; 1]")

Итог

• m(b - a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b - a) — оценка без вычисления.
• Для непрерывной f: \int_a^b f\,dx = f(\xi)(b - a); \bar f = \frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx — среднее значение.
• Обобщённая теорема о среднем и неравенство Коши–Буняковского — инструменты для оценок.