Интегралы: полный курс / Определённый интеграл / урок 27 из 64

Симметрия и полезные приёмы

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 10

Чётные и нечётные функции

Для функции, интегрируемой на [-a; a]:

\int_{-a}^a f(x)\,dx = \begin{cases}2\int_0^a f(x)\,dx, & f \text{ чётная}, \\ 0, & f \text{ нечётная}.\end{cases}

Доказательство. \int_{-a}^0 f(x)\,dx заменой x = -t превращается в \int_0^a f(-t)\,dt, а это \int_0^a f для чётной и -\int_0^a f для нечётной функции. \blacksquare

Любую функцию можно разложить на чётную и нечётную части: f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}. На симметричном отрезке нечётная часть исчезает.

Пример. \int_{-1}^1\left(x^7 + \operatorname{arctg}x + x^2\right)dx — первые два слагаемых нечётны, остаётся \int_{-1}^1x^2dx = \frac23.

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(-2, 2, 400)
odd = x**3 * np.cos(x)
vis.line(x, {"x³cos x (нечётная)": odd, "x²e^(−x²) (чётная)": x**2 * np.exp(-x**2)},
         title="Площади нечётной функции слева и справа сокращаются", xlabel="x")
print("∫_{-2}^{2} x³cos x dx ≈", round(float(np.trapz(odd, x)), 10))

Периодические функции

Если f имеет период T, то интеграл по любому отрезку длины T одинаков:

\int_a^{a + T}f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx, \qquad \int_0^{nT}f(x)\,dx = n\int_0^T f(x)\,dx.

Так, \int_0^{100\pi}|\sin x|\,dx = 100\int_0^\pi\sin x\,dx = 200, а \int_{17}^{17 + 2\pi}\sin^2x\,dx = \pi.

«Королевская» замена x \to a + b - x

Замена x = a + b - t переводит отрезок [a; b] в себя (концы меняются местами):

\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx.

Простая формула, но она берёт интегралы, у которых нет элементарной первообразной! Типичная схема: складываем исходный интеграл с преобразованным, и сумма упрощается.

Пример. I = \int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}dx. Замена x \to \frac\pi2 - x меняет синус и косинус:

I = \int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}}dx, \qquad 2I = \int_0^{\pi/2}1\,dx = \frac\pi2, \qquad I = \frac\pi4.

Пример. \int_0^{\pi/2}\ln\sin x\,dx = -\frac\pi2\ln 2 — знаменитый интеграл Эйлера, тоже берётся этим приёмом (с формулой \sin 2x = 2\sin x\cos x).

Пример. \int_0^\pi x f(\sin x)\,dx = \frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\,dx — потому что \sin(\pi - x) = \sin x.

import numpy as np

x = np.linspace(1e-9, np.pi / 2 - 1e-9, 400001)
s, c = np.sqrt(np.sin(x)), np.sqrt(np.cos(x))
print("∫ √sin/(√sin + √cos) ≈", round(float(np.trapz(s / (s + c), x)), 6), "   π/4 =", round(np.pi / 4, 6))
print("∫ ln sin x dx        ≈", round(float(np.trapz(np.log(np.sin(x)), x)), 4), "   −(π/2)ln 2 =", round(-np.pi / 2 * np.log(2), 4))

Интеграл от обратной функции

Если f монотонна и непрерывна на [a; b], то

\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(y)\,dy = b\,f(b) - a\,f(a).

Геометрически: две площади — под графиком и «слева» от графика — вместе составляют разность прямоугольников. Так, \int_1^e\ln x\,dx = e\cdot1 - 1\cdot0 - \int_0^1e^y\,dy = e - (e - 1) = 1.

Итог

  • Нечётная функция на [-a; a] даёт 0, чётная — 2\int_0^a.
  • Интеграл по периоду не зависит от начала; n периодов — n раз больше.
  • Замена x \to a + b - x и сложение с исходным интегралом — способ взять «неберущиеся» определённые интегралы.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы
\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(x^5 - 3x^3 + x\cos x + 1\right)dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 2 Ввод формулы
\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x^3 + x^2}{1 + x^2}\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 3 Ввод формулы
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin^7 x\cos^2 x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 4 Ввод формулы
\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3 x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 5 Ввод формулы

\displaystyle\int_{0}^{10\pi} |\sin x|\,dx (используйте периодичность)

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 6 Ввод формулы

«Королевская» замена: \displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 7 Ввод формулы
\displaystyle\int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x}\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 8 Ввод формулы

\displaystyle\int_0^{1} \frac{\ln(1 + x)}{1 + x^2}\,dx. Подсказка: x = \operatorname{tg} t, затем t \to \frac\pi4 - t.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 9 Ввод формулы
\displaystyle\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{\ln(9 - x)}}{\sqrt{\ln(9 - x)} + \sqrt{\ln(x + 3)}}\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 10 Ввод формулы

Интеграл от обратной функции: \displaystyle\int_0^{1} \arcsin x\,dx найдите через площадь: \int_0^1 \arcsin x\,dx = 1\cdot\frac\pi2 - \int_0^{\pi/2}\sin y\,dy.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.