Двойной интеграл

От отрезка к области

Одинарный интеграл суммирует f(x)\,\Delta x по маленьким отрезкам. Для функции двух переменных f(x, y), заданной в плоской области D, делаем то же самое с маленькими площадками:

1. Разбиваем D на части D_1, \dots, D_n с площадями \Delta S_k; диаметр разбиения \lambda — наибольший из диаметров частей.
2. В каждой части выбираем точку (\xi_k, \eta_k).
3. Составляем интегральную сумму \sum f(\xi_k, \eta_k)\,\Delta S_k.

Двойной интеграл — предел этих сумм:

Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области с «хорошей» границей интегрируема.

Смысл

• Объём тела под поверхностью z = f(x, y) \ge 0 над областью D: каждый член суммы — объём столбика f\cdot\Delta S.
• Площадь области: S(D) = \iint_D dx\,dy.
• Масса пластины с поверхностной плотностью \rho(x, y): m = \iint_D\rho\,dx\,dy.
• Среднее значение функции: \bar f = \frac{1}{S(D)}\iint_D f\,dS.

Свойства

Те же, что у одинарного интеграла:

• линейность: \iint(\alpha f + \beta g) = \alpha\iint f + \beta\iint g;
• аддитивность по области: если D = D_1\cup D_2 без общих внутренних точек, \iint_D = \iint_{D_1} + \iint_{D_2};
• монотонность: f \le g \Rightarrow \iint_D f \le \iint_D g;
• оценка: m\,S(D) \le \iint_D f \le M\,S(D);
• теорема о среднем: для непрерывной f в связной области \iint_D f\,dS = f(P)\cdot S(D) для некоторой точки P \in D.

Вычисление по прямоугольнику

Теорема Фубини. Если f непрерывна на прямоугольнике D = [a; b]\times[c; d], то

Двойной интеграл сводится к повторному: сначала интегрируем по одной переменной, считая другую постоянной, затем результат — по другой. Геометрически: объём равен интегралу от площадей сечений (как в уроке об объёмах).

Пример.

Если f(x, y) = g(x)h(y), интеграл по прямоугольнику распадается в произведение: \iint g(x)h(y) = \int_a^bg\,dx\cdot\int_c^dh\,dy.

import numpy as np
import vis

# Двойная интегральная сумма (средние точки) для ∫∫ (x² + y) по [0,1]×[0,2]
for n in [2, 4, 8, 16, 64]:
    hx, hy = 1 / n, 2 / n
    xs = (np.arange(n) + 0.5) * hx
    ys = (np.arange(n) + 0.5) * hy
    X, Y = np.meshgrid(xs, ys)
    print(f"n × n = {n:>2} × {n:<2}: сумма = {np.sum(X**2 + Y) * hx * hy:.6f}   (точно 8/3 = {8 / 3:.6f})")

n = 12
xs = (np.arange(n) + 0.5) / n
ys = (np.arange(n) + 0.5) * 2 / n
X, Y = np.meshgrid(xs, ys)
vis.heatmap((X**2 + Y)[::-1], title="Высоты столбиков f(x, y) = x² + y в клетках разбиения", show_values=False)

import sympy as sp

x, y = sp.symbols("x y")
print(sp.integrate(x**2 + y, (y, 0, 2), (x, 0, 1)))           # сначала по y, потом по x
print(sp.integrate(x * sp.exp(x * y), (y, 0, 1), (x, 0, 1)))  # удобный порядок
print(sp.integrate(sp.sin(x + y), (x, 0, sp.pi / 2), (y, 0, sp.pi / 2)))

В SymPy пределы перечисляются от внутреннего интеграла к внешнему.

Итог

• \iint_D f\,dS — предел сумм \sum f(\xi_k, \eta_k)\Delta S_k; объём под поверхностью, масса, площадь (f = 1).
• Свойства — как у одинарного интеграла.
• По прямоугольнику: повторный интеграл в любом порядке (Фубини).