Теория: определения и теоремы

F — первообразная f на промежутке I, если F'(x) = f(x) для всех x \in I. Теорема: если F — первообразная, то все первообразные на промежутке имеют вид F + C. Доказательство: (G - F)' = 0 на промежутке, по теореме Лагранжа G - F = \text{const}. Важно, что I — промежуток: для \frac1x на \mathbb R\setminus\{0\} константы слева и справа от нуля могут быть разными. Неопределённый интеграл \int f\,dx — множество всех первообразных.

(\int f\,dx)' = f; \int dF = F + C; линейность. Замена: \int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt = \int f(x)\,dx\big|_{x = \varphi(t)} — следует из правила дифференцирования сложной функции. По частям: \int u\,dv = uv - \int v\,du — из формулы (uv)' = u'v + uv'.

Неправильную дробь делим и выделяем многочлен. Знаменатель раскладываем на множители (x - a)^k и (x^2 + px + q)^m с p^2 - 4q < 0 (основная теорема алгебры). Правильная дробь единственным образом раскладывается в сумму простейших \frac{A}{(x - a)^j} и \frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}. Каждая простейшая интегрируется в элементарных функциях: получаются рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Вывод: интеграл от рациональной функции всегда элементарен.

У любой непрерывной функции есть первообразная, но она не обязана быть элементарной: \int e^{-x^2}dx, \int\frac{\sin x}{x}dx, \int\frac{dx}{\ln x}, \int\sqrt{1 - k^2\sin^2x}\,dx (эллиптический). Теорема Чебышёва: \int x^m(a + bx^n)^p\,dx (m, n, p рациональные) элементарен только в трёх случаях: p целое; \frac{m + 1}{n} целое; \frac{m + 1}{n} + p целое.

Разбиение a = x_0 < \dots < x_n = b, точки \xi_i \in [x_{i-1}; x_i], интегральная сумма \sigma = \sum f(\xi_i)\Delta x_i. I = \int_a^b f\,dx, если \sigma \to I при \lambda = \max\Delta x_i \to 0 независимо от выбора точек. Суммы Дарбу: s = \sum m_i\Delta x_i, S = \sum M_i\Delta x_i (m_i, M_i — inf и sup на отрезке). Критерий: ограниченная f интегрируема \iff S - s \to 0 при \lambda \to 0. Классы интегрируемых функций: непрерывные; монотонные; ограниченные с конечным числом разрывов. Контрпример: функция Дирихле (1 на рациональных, 0 на иррациональных): s = 0, S = b - a.

Линейность; аддитивность \int_a^b = \int_a^c + \int_c^b; \int_a^b = -\int_b^a; монотонность: f \le g \Rightarrow \int f \le \int g; \left|\int f\right| \le \int|f|; m(b - a) \le \int_a^b f \le M(b - a).

f непрерывна на [a; b] \Rightarrow \exists c: \int_a^b f\,dx = f(c)(b - a). Доказательство: m \le \frac{1}{b - a}\int_a^b f \le M, а непрерывная функция принимает все значения между m и M (теорема Больцано–Коши). Обобщённая: g \ge 0 \Rightarrow \int fg = f(c)\int g.

\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt. Если f интегрируема, \Phi непрерывна. Если f непрерывна в точке x, то \Phi'(x) = f(x). Доказательство: \frac{\Phi(x + h) - \Phi(x)}{h} = \frac1h\int_x^{x+h}f = f(c_h) \to f(x) по теореме о среднем. Следствие: у любой непрерывной функции есть первообразная. Обобщение: \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt = f(b)b' - f(a)a'.

f непрерывна на [a; b], F — её первообразная \Rightarrow \int_a^b f\,dx = F(b) - F(a). Доказательство: \Phi(x) = \int_a^x f — тоже первообразная, F = \Phi + C, F(b) - F(a) = \Phi(b) - \Phi(a) = \int_a^b f. Другое доказательство — через теорему Лагранжа на каждом отрезке разбиения.

\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt, где \varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b, \varphi непрерывно дифференцируема. Возвращаться к старой переменной не нужно — меняются пределы. \int_a^b u\,dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v\,du. Симметрия: для нечётной f \int_{-a}^a f = 0, для чётной — 2\int_0^a f; для T-периодической \int_a^{a+T} f не зависит от a.

Площадь \int_a^b(f - g)\,dx; в полярных \frac12\int\rho^2\,d\varphi; в параметрической форме \int y\,x'\,dt. Объём \int S(x)\,dx, тела вращения \pi\int f^2\,dx. Длина дуги \int\sqrt{1 + f'^2}\,dx, \int\sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt, \int\sqrt{\rho^2 + \rho'^2}\,d\varphi. Площадь поверхности вращения 2\pi\int f\sqrt{1 + f'^2}\,dx. Работа \int F\,dx, масса \int\rho\,dx, центр масс \frac{\int x\rho\,dx}{\int\rho\,dx}. Общая схема («метод дифференциала»): найти элемент величины dQ = q(x)\,dx и проинтегрировать.

Первого рода: \int_a^\infty f\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx. Второго рода (особенность в b): \int_a^b f\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_a^{b - \varepsilon}f\,dx. Сходится, если предел конечен. Эталоны: \int_1^\infty\frac{dx}{x^p} сходится \iff p > 1; \int_0^1\frac{dx}{x^p} сходится \iff p < 1. Если особенностей несколько, интеграл разбивают так, чтобы в каждом куске была одна; сходится, только если сходятся все куски.

Для f, g \ge 0: признак сравнения (f \le g: из сходимости \int g следует сходимость \int f); предельный признак (f/g \to k \in (0; \infty): сходятся одновременно). Абсолютная сходимость: \int|f| сходится \Rightarrow \int f сходится. Условная: \int f сходится, а \int|f| — нет; пример \int_1^\infty\frac{\sin x}{x}dx. Признак Дирихле: \int_a^x f ограничен, g \searrow 0 \Rightarrow \int fg сходится.

\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx, s > 0; \Gamma(s + 1) = s\Gamma(s), \Gamma(n + 1) = n!, \Gamma(\frac12) = \sqrt\pi. B(p, q) = \int_0^1x^{p-1}(1 - x)^{q-1}dx = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}.

Предел сумм \sum f(\xi_i)\Delta S_i по разбиениям области. Теорема Фубини: для непрерывной f на D = \{a \le x \le b,\; y_1(x) \le y \le y_2(x)\} \iint_D f = \int_a^b dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f\,dy. Замена: \iint_D f\,dx\,dy = \iint_{D'}f\,|J|\,du\,dv, J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}; полярные — |J| = r; цилиндрические — r; сферические — \rho^2\sin\theta.

Первого рода: \int_L f\,ds, ds = |\vec r\,'(t)|\,dt; не зависит от направления. Второго рода: \int_L P\,dx + Q\,dy = \int\vec F\cdot d\vec r — работа; меняет знак при смене направления. Связь: \int\vec F\cdot d\vec r = \int\vec F\cdot\vec\tau\,ds.

\oint_{\partial D}P\,dx + Q\,dy = \iint_D(Q_x - P_y)\,dx\,dy (обход положительный). Для гладкого поля в односвязной области эквивалентны: (1) интеграл не зависит от пути; (2) интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю; (3) P\,dx + Q\,dy = du; (4) Q_x = P_y. Без односвязности (4) не влечёт (1)–(3).

Первого рода: \iint_S f\,dS, dS = |\vec r_u\times\vec r_v|\,du\,dv. Второго рода (поток): \iint_S\vec F\cdot\vec n\,dS, зависит от стороны. Гаусс–Остроградский: \oiint_{\partial V}\vec F\cdot\vec n\,dS = \iiint_V\operatorname{div}\vec F\,dV. Стокс: \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r = \iint_S\operatorname{rot}\vec F\cdot\vec n\,dS (правило правого винта). Смысл: дивергенция — плотность источников, ротор — плотность вихрей.