Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 7 из 64

Таблица основных интегралов

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 15

Таблица производных наоборот

Каждая формула для производной $F'(x) = f(x)$ даёт формулу интеграла $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ . Нужно лишь подобрать коэффициенты, чтобы производная получилась ровно $f$ . Например, $(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ , поэтому $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ .

Основная таблица

№	Интеграл	Условие
1	$\int 0\,dx = C$ , $\;\int dx = x + C$
2	$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n \ne -1$
3	$\int \dfrac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert + C$	$x \ne 0$
4	$\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ , $\;\int e^x dx = e^x + C$	$a > 0, a \ne 1$
5	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$
6	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$
7	$\int \dfrac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C$
8	$\int \dfrac{dx}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg} x + C$
9	$\int \dfrac{dx}{1 + x^2} = \operatorname{arctg} x + C$
10	$\int \dfrac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C$	$\lvert x\rvert < 1$

Расширенная таблица ( $a > 0$ )

№	Интеграл	Название
11	$\int \dfrac{dx}{x^2 + a^2} = \dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{a} + C$
12	$\int \dfrac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\dfrac{x}{a} + C$
13	$\int \dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$	«высокий логарифм»
14	$\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right\rvert + C$	«длинный логарифм»
15	$\int \operatorname{sh} x\,dx = \operatorname{ch} x + C$ , $\;\int \operatorname{ch} x\,dx = \operatorname{sh} x + C$
16	$\int \operatorname{tg} x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$ , $\;\int \operatorname{ctg} x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$

Формулы 11–14 проверяются дифференцированием, а выводятся заменой переменной и разложением дроби — мы сделаем это позже.

Откуда модуль в $\ln|x|$

Функция $\ln x$ определена только при $x > 0$ , а $\frac1x$ — при всех $x \ne 0$ . При $x < 0$ : $\big(\ln(-x)\big)' = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac1x$ . Значит, $\ln|x|$ — первообразная $\frac1x$ на обоих промежутках сразу. Ответ без модуля верен только при $x > 0$ — и сайт его не примет, если задача подразумевает и отрицательные $x$ .

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(-4, 4, 801)
x = x[np.abs(x) > 0.08]
vis.line(x, {"1/x": 1 / x, "ln|x|": np.log(np.abs(x))}, title="ln|x| растёт там, где 1/x > 0, и убывает, где 1/x < 0", xlabel="x")

Проверим всю таблицу

Каждую строку можно проверить: продифференцировать правую часть и сравнить с подынтегральной функцией.

import sympy as sp

x = sp.symbols("x", positive=True)
a = sp.Integer(3)
table = [
    (x**5, x**6 / 6),
    (1 / x, sp.log(x)),
    (2**x, 2**x / sp.log(2)),
    (1 / sp.cos(x)**2, sp.tan(x)),
    (1 / sp.sin(x)**2, -sp.cot(x)),
    (1 / (x**2 + a**2), sp.atan(x / a) / a),
    (1 / (x**2 - a**2), sp.log((x - a) / (x + a)) / (2 * a)),
    (1 / sp.sqrt(x**2 + a**2), sp.log(x + sp.sqrt(x**2 + a**2))),
    (sp.tan(x), -sp.log(sp.cos(x))),
]
for f, F in table:
    ok = sp.simplify(sp.diff(F, x) - f) == 0
    print(f"{'✓' if ok else '✗'}  ∫ {str(f):24} = {F}")

Типичные ошибки

$\int x^n dx \ne x^{n+1} + C$ — забытое деление на $n + 1$ . Проверка дифференцированием сразу её ловит.
$\int \sin x\,dx = -\cos x$ , а не $\cos x$ : знак минус легко потерять.
$\int \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} + C$ , а не $\ln x^2$ : это степень $x^{-2}$ , формула 2.
$\int a^x dx$ — делим на $\ln a$ , а не умножаем.

Итог

Таблица интегралов — таблица производных, прочитанная справа налево.
Степень: $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ при $n \ne -1$ ; при $n = -1$ — $\ln|x|$ с модулем.
Формулы с $a^2 \pm x^2$ дают арктангенс, арксинус и два «логарифма» — их тоже стоит выучить.

Практика решено 0 из 15

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

\displaystyle\int x^7\,dx

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).