Замена переменной и по частям в определённом интеграле

Замена переменной

Теорема. Пусть f непрерывна на отрезке, x = \varphi(t) — непрерывно дифференцируемая функция на [\alpha; \beta], значения которой лежат в области непрерывности f, и \varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b. Тогда

Доказательство. Если F — первообразная f, то F(\varphi(t)) — первообразная правой части, и обе части равны F(b) - F(a). \blacksquare

Главное отличие от неопределённого интеграла: пределы пересчитываются, и к старой переменной возвращаться не нужно.

Пример. \int_0^3\frac{x\,dx}{\sqrt{x + 1}}. Замена t = \sqrt{x + 1}: x = t^2 - 1, dx = 2t\,dt; при x = 0 t = 1, при x = 3 t = 2.

Удобно записывать замену табличкой:

Пример. Площадь круга: \int_{-r}^r\sqrt{r^2 - x^2}\,dx, замена x = r\sin t, t от -\frac\pi2 до \frac\pi2:

Площадь полукруга — значит, круга \pi r^2.

Осторожно

• Замена x = \varphi(t) не обязана быть монотонной, но значения \varphi должны оставаться там, где f непрерывна.
• Не делайте замен, которые неоднозначно обращаются на отрезке. Например, в \int_{-1}^1 x^2dx «замена» t = x^2 даёт \int_1^1\dots = 0 — неверно, потому что x = \pm\sqrt t на разных половинах отрезка.

import sympy as sp

x, t = sp.symbols("x t", positive=True)
# Ручная замена t = √(x + 1) с пересчётом пределов
f = x / sp.sqrt(x + 1)
g = sp.simplify(f.subs(x, t**2 - 1) * sp.diff(t**2 - 1, t))
print("после замены:", g)
print("∫₁² по t     =", sp.integrate(g, (t, 1, 2)))
print("∫₀³ по x     =", sp.integrate(f, (x, 0, 3)))

Интегрирование по частям

Внеинтегральный член сразу вычисляется в пределах — это часто упрощает дело: многие слагаемые обращаются в ноль.

Интегралы Валлиса

Обозначим I_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx (такой же интеграл от \cos^n x — замена x = \frac\pi2 - t показывает, что они равны). По частям с u = \sin^{n-1}x, dv = \sin x\,dx:

Отсюда рекуррентная формула I_n = \frac{n - 1}{n}I_{n-2}, и при I_0 = \frac\pi2, I_1 = 1:

Здесь n!! — произведение чисел той же чётности: 7!! = 7\cdot5\cdot3\cdot1, 6!! = 6\cdot4\cdot2.

Например, I_4 = \frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{3\pi}{16}, \;I_5 = \frac45\cdot\frac23 = \frac{8}{15}.

Из неравенств I_{2k+1} \le I_{2k} \le I_{2k-1} Валлис в 1655 году получил знаменитую формулу

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")

def wallis(n):
    I = sp.pi / 2 if n % 2 == 0 else sp.Integer(1)
    for k in range(2 if n % 2 == 0 else 3, n + 1, 2):
        I = I * sp.Rational(k - 1, k)
    return I

for n in range(0, 8):
    direct = sp.integrate(sp.sin(x)**n, (x, 0, sp.pi / 2))
    print(f"I_{n} = {str(wallis(n)):10}  SymPy: {direct}")

p = 1.0
for k in range(1, 100001):
    p *= (2 * k) ** 2 / ((2 * k - 1) * (2 * k + 1))
print("произведение Валлиса, 100 000 множителей:", p, "  π/2 =", float(sp.pi / 2))

Произведение сходится медленно — зато это одна из первых формул для \pi через бесконечное произведение.

Итог

• Замена в определённом интеграле: пересчитать пределы, к старой переменной не возвращаться.
• \int_a^b u\,dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v\,du; внеинтегральный член часто равен нулю.
• \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx = \frac{n - 1}{n}I_{n-2} — интегралы Валлиса.