Интегралы: полный курс / Несобственные интегралы / урок 38 из 64

Интегралы от неограниченных функций

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 9

Второй род

Пусть $f$ интегрируема на каждом отрезке $[a; b - \varepsilon]$ , но неограничена вблизи $b$ (точка $b$ — особая). Тогда

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_a^{b - \varepsilon}f(x)\,dx.

Аналогично для особой точки на левом конце. Если особая точка $c$ лежит внутри отрезка, интеграл разбивают:

\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx,

и он сходится, только если сходятся оба.

Формула Ньютона–Лейбница работает с пределом первообразной в особой точке:

\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x} = 2\sqrt x\Big|_0^1 = 2, \qquad \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x\Big|_0^1 = \frac\pi2.

Эталон: $\int_0^1\frac{dx}{x^p}$

\int_0^1\frac{dx}{x^p} = \lim_{\varepsilon\to0}\frac{1 - \varepsilon^{1-p}}{1 - p} = \begin{cases}\dfrac{1}{1 - p}, & p < 1, \\ \infty, & p \ge 1.\end{cases}

Сходится при $p < 1$ — ровно наоборот по сравнению с бесконечным промежутком! Это понятно из симметрии: замена $x = \frac1t$ переводит $\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ в $\int_1^\infty\frac{dt}{t^{2-p}}$ , а $2 - p > 1 \iff p < 1$ .

Итог для степеней: $\int_0^\infty\frac{dx}{x^p}$ расходится при любом $p$ — у нуля нужно $p < 1$ , на бесконечности $p > 1$ .

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(0.02, 3, 600)
vis.line(x, {"1/√x (площадь у нуля конечна)": 1 / np.sqrt(x), "1/x (бесконечна)": 1 / x, "1/x² (бесконечна)": 1 / x**2},
         title="Чем быстрее растёт функция у нуля, тем хуже", xlabel="x")
for p in [0.5, 0.9, 1.0, 1.5]:
    eps = np.array([1e-2, 1e-4, 1e-6, 1e-8])
    vals = np.log(1 / eps) if p == 1 else (1 - eps**(1 - p)) / (1 - p)
    print(f"p = {p}: ∫_ε^1 при ε = 1e-2…1e-8:", np.round(vals, 3))

Ловушка: особая точка внутри

Формальное применение формулы Ньютона–Лейбница через особую точку даёт ерунду:

\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2} \ne -\frac1x\Big|_{-1}^1 = -2.

На самом деле интеграл расходится (оба куска — $\int\frac{dx}{x^2}$ около нуля). Всегда проверяйте, нет ли внутри отрезка точек, где функция не ограничена: нули знаменателя, точки, где не определён логарифм или тангенс.

Главное значение

Для $\int_{-1}^1\frac{dx}{x}$ оба куска расходятся, но если вырезать симметричную окрестность нуля, площади сокращаются:

\text{v.p.}\int_{-1}^1\frac{dx}{x} = \lim_{\varepsilon\to0}\left(\int_{-1}^{-\varepsilon} + \int_\varepsilon^1\right)\frac{dx}{x} = 0.

Это главное значение по Коши (valeur principale). Оно применяется в физике и комплексном анализе, но не является обычной сходимостью.

Сведение к первому роду

Заменой переменной интеграл второго рода превращается в интеграл первого рода и обратно. Например, $x = \frac1t$ или $t = \frac{1}{b - x}$ . Также иногда замена убирает особенность: $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x(1 + x)}$ заменой $x = t^2$ становится обычным интегралом $\int_0^1\frac{2\,dt}{1 + t^2} = \frac\pi2$ .

import sympy as sp

x = sp.symbols("x", positive=True)
for f, a, b in [(1 / sp.sqrt(x), 0, 1), (sp.log(x), 0, 1), (1 / x, 0, 1), (sp.log(x) / sp.sqrt(x), 0, 1), (1 / (sp.sqrt(x) * (1 + x)), 0, 1)]:
    print(f"∫_{a}^{b} {str(f):22} dx = {sp.integrate(f, (x, a, b))}")

Итог

Особая точка $b$ : $\int_a^b = \lim_{\varepsilon\to0}\int_a^{b - \varepsilon}$ ; особая точка внутри — разбить отрезок.
$\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ сходится только при $p < 1$ .
Не применяйте формулу Ньютона–Лейбница «через» особую точку.

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

\displaystyle\int_0^{1} \frac{dx}{\sqrt{x}}

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).