Признаки сходимости

Зачем признаки

Чаще всего первообразную найти нельзя (\int_1^\infty\frac{dx}{\sqrt{1 + x^5}}, \int_0^\infty e^{-x^2}dx), но знать, сходится ли интеграл, нужно: например, чтобы вычислять его численно или убедиться, что вероятность определена. Признаки сравнивают функцию с эталоном, для которого ответ известен.

Эталоны: - \int_1^\infty\frac{dx}{x^p} сходится \iff p > 1; - \int_0^1\frac{dx}{x^p} сходится \iff p < 1; - \int_0^\infty e^{-ax}dx сходится при a > 0.

Признак сравнения

Пусть 0 \le f(x) \le g(x) при x \ge a. Тогда:

• если \int_a^\infty g\,dx сходится, то и \int_a^\infty f\,dx сходится;
• если \int_a^\infty f\,dx расходится, то и \int_a^\infty g\,dx расходится.

Почему: для неотрицательной функции \int_a^b f\,dx растёт с ростом b, а монотонная ограниченная функция имеет предел. \blacksquare

Пример. \int_1^\infty\frac{dx}{x^2(1 + e^x)}: \frac{1}{x^2(1 + e^x)} \le \frac{1}{x^2} — сходится.

Пример. \int_2^\infty\frac{dx}{\ln x}: \ln x < x, значит \frac{1}{\ln x} > \frac1x — расходится.

Предельный признак сравнения

Пусть f, g > 0 и \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = k, где 0 < k < \infty. Тогда \int^\infty f и \int^\infty g сходятся или расходятся одновременно.

На практике: найти главную часть функции на бесконечности (или около особой точки) и сравнить с \frac{1}{x^p}.

Полезные эквивалентности при x \to 0: \sin x \sim x, \operatorname{tg}x \sim x, \ln(1 + x) \sim x, e^x - 1 \sim x, 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, (1 + x)^a - 1 \sim ax.

Логарифм и экспонента. \ln x растёт медленнее любой степени, e^x — быстрее: \frac{\ln x}{x^{1,1}} всё ещё сходится (сравните с \frac{1}{x^{1,05}}), а x^{100}e^{-x} — тоже.

Абсолютная и условная сходимость

Если сходится \int_a^\infty|f|\,dx, то сходится и \int_a^\infty f\,dx — интеграл сходится абсолютно. Признаки сравнения применяют к |f|.

Если \int f сходится, а \int|f| — нет, сходимость условная: «плюсы» и «минусы» компенсируют друг друга.

Признаки Дирихле и Абеля

Дирихле. Если \left|\int_a^b f\,dx\right| \le M для всех b (первообразная ограничена), а g монотонно стремится к нулю, то \int_a^\infty f g\,dx сходится.

Абеля. Если \int_a^\infty f\,dx сходится, а g монотонна и ограничена, то \int_a^\infty fg\,dx сходится.

Главный пример — \int_1^\infty\frac{\sin x}{x^p}dx: - при p > 1 — сходится абсолютно; - при 0 < p \le 1 — сходится условно (Дирихле: f = \sin x, g = x^{-p}); - при p \le 0 — расходится.

import numpy as np
import vis

b = np.linspace(1, 60, 6000)
f = np.sin(b) / b
dx = b[1] - b[0]
I = np.concatenate([[0], np.cumsum((f[1:] + f[:-1]) / 2 * dx)])
I_abs = np.concatenate([[0], np.cumsum((np.abs(f[1:]) + np.abs(f[:-1])) / 2 * dx)])
vis.line(b, {"∫₁ᵇ sin x / x dx": I, "∫₁ᵇ |sin x| / x dx": I_abs}, title="Условная сходимость: первый интеграл колеблется и успокаивается, второй растёт как ln b", xlabel="b")
print("∫₁⁶⁰ sin x / x ≈", round(float(I[-1]), 4), "   предел: π/2 − Si(1) ≈", round(np.pi / 2 - 0.946083, 4))

Итог

• Сравнение с \frac{1}{x^p}: на бесконечности нужно p > 1, около особой точки p < 1.
• Предельный признак: найти главную часть функции и сравнить с эталоном.
• Абсолютная сходимость влечёт обычную; \int\frac{\sin x}{x}dx — классический пример условной сходимости (признак Дирихле).