Формула Грина

Формула

Пусть D — область с кусочно-гладкой границей L, обходимой в положительном направлении (область остаётся слева), а P, Q и их частные производные непрерывны в D вместе с границей. Тогда

Это двумерный аналог формулы Ньютона–Лейбница: интеграл от «производной» по области выражается через значения на границе.

Доказательство (для простой области)

Пусть D = \{a \le x \le b, \; y_1(x) \le y \le y_2(x)\}. Проверим часть с P:

С другой стороны, \oint_L P\,dx — это интеграл по нижней кривой слева направо (\int_a^bP(x, y_1)\,dx) плюс по верхней справа налево (-\int_a^bP(x, y_2)\,dx); на вертикальных отрезках dx = 0. Получается \oint P\,dx = -\iint P_y\,dx\,dy. Аналогично \oint Q\,dy = \iint Q_x\,dx\,dy. Сложная область разбивается на простые; интегралы по внутренним разрезам сокращаются (проходятся дважды в разные стороны). \blacksquare

Смысл: циркуляция и ротор

Величина \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} — плотность циркуляции, «завихрённость» поля в точке (третья компонента ротора \operatorname{rot}\vec F). Формула Грина говорит: циркуляция по контуру = сумма завихрённостей внутри. Маленькие вихри в соседних клеточках гасят друг друга на общих сторонах, остаётся только граница.

Вычисление площадей

Если Q_x - P_y = 1, двойной интеграл равен площади. Подходящие пары: (P, Q) = (0, x), (-y, 0), \left(-\frac y2, \frac x2\right):

Эту формулу мы уже использовали для параметрических кривых. На ней же основан планиметр — механический прибор, измеряющий площадь фигуры обводом её контура.

import numpy as np

# Формула площади многоугольника («формула шнурков») — дискретная формула Грина
def polygon_area(pts):
    x, y = np.array(pts, dtype=float).T
    return 0.5 * np.sum(x * np.roll(y, -1) - np.roll(x, -1) * y)

print("квадрат:", polygon_area([(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)]))
print("треугольник:", polygon_area([(0, 0), (2, 0), (0, 2)]))
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000, endpoint=False)
print("эллипс 3×2 (1000-угольник):", polygon_area(np.c_[3 * np.cos(t), 2 * np.sin(t)]), "  6π =", 6 * np.pi)
print("обход по часовой — знак минус:", polygon_area([(0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0)]))

Проверка на примере

import sympy as sp

x, y, t, r, phi = sp.symbols("x y t r phi", real=True)
P, Q = -x**2 * y, x * y**2
# контурный интеграл по единичной окружности
X, Y = sp.cos(t), sp.sin(t)
line = sp.integrate((P.subs({x: X, y: Y}) * sp.diff(X, t) + Q.subs({x: X, y: Y}) * sp.diff(Y, t)), (t, 0, 2 * sp.pi))
# двойной интеграл по кругу
curl = sp.diff(Q, x) - sp.diff(P, y)
double = sp.integrate(curl.subs({x: r * sp.cos(phi), y: r * sp.sin(phi)}) * r, (r, 0, 1), (phi, 0, 2 * sp.pi))
print("∮ =", sp.simplify(line), "   ∬ =", sp.simplify(double))

Области с дырками и особые точки

Для области с дырками граница состоит из нескольких контуров: внешний обходится против часовой стрелки, внутренние — по часовой (чтобы область оставалась слева).

Поле \vec F = \left(\frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right) имеет Q_x - P_y = 0 всюду, кроме начала координат, где оно не определено. Поэтому:

• по контуру, не охватывающему начало координат, циркуляция равна 0;
• по любому контуру, охватывающему его один раз, — 2\pi (вырезаем маленький круг; в кольце Грин даёт 0, а по окружности считаем напрямую).

Интеграл \frac{1}{2\pi}\oint\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2} — это число оборотов контура вокруг начала координат. Отсюда начинается комплексный анализ и топология.

Итог

• \oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D(Q_x - P_y)\,dx\,dy; контур обходится так, чтобы область была слева.
• Площадь: S = \frac12\oint x\,dy - y\,dx.
• Если внутри есть особые точки, их вырезают; формула применима только там, где P, Q гладкие.