Объёмы тел

Объём по поперечным сечениям

Пусть тело расположено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ox, известна: S(x). Разрежем тело на тонкие слои толщины dx; объём слоя \approx S(x)\,dx. Поэтому

Принцип Кавальери. Если у двух тел площади сечений на каждом уровне одинаковы, то равны и объёмы. Например, наклонная стопка монет имеет тот же объём, что и прямая.

Пирамида с площадью основания Q и высотой H: сечение на расстоянии x от вершины подобно основанию с коэффициентом \frac xH, поэтому S(x) = Q\frac{x^2}{H^2} и

Это та самая \frac13, которую в школе принимают на веру.

Тела вращения: метод дисков

Если фигура под графиком y = f(x) \ge 0, x \in [a; b], вращается вокруг оси Ox, каждое сечение — круг радиуса f(x):

Шар. Полукруг y = \sqrt{R^2 - x^2}: V = \pi\int_{-R}^R(R^2 - x^2)\,dx = \pi\left(2R^3 - \frac{2R^3}{3}\right) = \frac43\pi R^3.

Метод шайб

Если вращается фигура между y = g(x) и y = f(x), 0 \le g \le f, сечение — кольцо (шайба):

Осторожно: это не \pi\int(f - g)^2dx.

Метод цилиндрических оболочек

При вращении фигуры под y = f(x), 0 \le a \le x \le b, вокруг оси Oy удобно резать тело на тонкие цилиндрические оболочки: радиус x, высота f(x), толщина dx. Развернув оболочку, получаем пластину 2\pi x \times f(x) \times dx:

Тот же объём методом дисков пришлось бы считать по y, выражая x через y — часто это невозможно.

import numpy as np
import vis

# Профиль тела вращения и объёмы двумя способами для y = x − x² на [0; 1]
x = np.linspace(0, 1, 100001)
f = x - x**2
V_ox = np.pi * np.trapz(f**2, x)          # вокруг Ox — диски
V_oy = 2 * np.pi * np.trapz(x * f, x)     # вокруг Oy — оболочки
print(f"вокруг Ox: V ≈ {V_ox:.6f}  (π/30 = {np.pi / 30:.6f})")
print(f"вокруг Oy: V ≈ {V_oy:.6f}  (π/6  = {np.pi / 6:.6f})")
xx = np.linspace(-1, 1, 401)
prof = np.abs(xx) - xx**2
vis.area(xx, {"y = |x| − x²": prof}, between="y = |x| − x²",
         title="Осевое сечение тела вращения вокруг Oy (ось — вертикальная прямая x = 0)", equal=True)

Теорема Паппа–Гульдина

Объём тела, полученного вращением плоской фигуры площади S вокруг оси, не пересекающей её, равен

где d — расстояние от центра масс фигуры до оси. Иначе говоря, объём равен площади фигуры, умноженной на путь, пройденный её центром масс. Тор (круг радиуса r, центр на расстоянии R от оси): V = 2\pi R\cdot\pi r^2 = 2\pi^2Rr^2.

Рог Гавриила

Вращаем вокруг Ox график y = \frac1x при x \ge 1. Объём

конечен, а площадь поверхности (следующие уроки) — бесконечна. Парадокс: рог можно наполнить конечным количеством краски, но нельзя покрасить его поверхность. Здесь мы впервые встретили интеграл по бесконечному промежутку — им посвящён модуль о несобственных интегралах.

import sympy as sp

x = sp.symbols("x", positive=True)
R, H, r = sp.symbols("R H r", positive=True)
print("шар:", sp.integrate(sp.pi * (R**2 - x**2), (x, -R, R)))
print("конус:", sp.integrate(sp.pi * (R * x / H)**2, (x, 0, H)))
print("рог Гавриила:", sp.integrate(sp.pi / x**2, (x, 1, sp.oo)))
print("тор (Папп–Гульдин):", 2 * sp.pi * R * sp.pi * r**2)

Итог

• V = \int_a^b S(x)\,dx — объём по площадям сечений.
• Вращение вокруг Ox: V = \pi\int f^2dx (диски), \pi\int(f^2 - g^2)dx (шайбы).
• Вращение вокруг Oy: V = 2\pi\int x f(x)\,dx (оболочки).
• Папп–Гульдин: V = 2\pi d S.