Интегралы: полный курс / Кратные интегралы / урок 53 из 64

Практикум: кратные интегралы

⏱ 60 мин · 🧩 заданий: 15

Указания

1–6: декартовы координаты и порядок
  • 2. При 0 \le x \le 1: x \le y \le 2x; \int_0^1\frac{(2x)^2 - x^2}{2}dx = \int_0^1\frac{3x^2}{2}dx.
  • 3. -1 \le x \le 1, x^2 \le y \le 1: \int_{-1}^1x^2\frac{1 - x^4}{2}dx.
  • 4. Пересечения x = -2 и x = 1.
  • 5. Область 0 \le y \le x \le 1: \int_0^1x\cos x^2\,dx.
  • 6. Область 0 \le y \le x^3, 0 \le x \le 2: \int_0^2\frac{x^3dx}{x^4 + 1}.
7–9: полярные координаты
  • 7. 2\pi\int_0^3r\sqrt{9 - r^2}\,dr = 2\pi\cdot9.
  • 8. 2\pi\int_0^\infty\frac{r\,dr}{(1 + r^2)^2} = 2\pi\cdot\frac12.
  • 9. См. пояснение.
10–15: тройные интегралы и поверхности
  • 11. Это \iiint x\,dV по тетраэдру; по симметрии равно \iiint z\,dV = \frac{1}{24}.
  • 12. Цилиндрические: r \le z \le 2, V = 2\pi\int_0^2r(2 - r)\,dr.
  • 13. \int r\cos\varphi\,d\varphi = 0 по полному обороту — остаётся 2\cdot\pi.
  • 14. Сферические: \frac{1}{\rho}\rho^2\sin\theta; 4\pi\int_0^2\rho\,d\rho.
  • 15. \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \sqrt2; площадь — \sqrt2\cdot\pi.
import sympy as sp

x, y, z, r, phi = sp.symbols("x y z r phi")
print("1:", sp.integrate(x**2 + 2*x*y, (y, 0, 1), (x, 0, 2)))
print("2:", sp.integrate(y, (y, x, 2*x), (x, 0, 1)))
print("5:", sp.integrate(sp.cos(x**2), (y, 0, x), (x, 0, 1)))
print("12:", sp.integrate(r, (z, r, 2), (r, 0, 2), (phi, 0, 2 * sp.pi)))
print("13:", sp.integrate(r * (2 + r * sp.cos(phi)), (r, 0, 1), (phi, 0, 2 * sp.pi)))

Практика решено 0 из 15

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^2\int_0^1 (x^2 + 2xy)\,dy\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 2 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iint_D y\,dx\,dy, D ограничена y = x, y = 2x, x = 1.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 3 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iint_D x^2y\,dx\,dy, D ограничена y = x^2 и y = 1.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 4 Ввод формулы
  1. Площадь области между y = 4 - x^2 и y = x + 2 двойным интегралом.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 5 Ввод формулы
  1. Поменяйте порядок: \displaystyle\int_0^1\int_{y}^{1} \cos(x^2)\,dx\,dy.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 6 Ввод формулы
  1. Поменяйте порядок: \displaystyle\int_0^8\int_{\sqrt[3]{y}}^{2} \frac{dx\,dy}{x^4 + 1}.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 7 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iint_{x^2 + y^2 \le 9} \sqrt{9 - x^2 - y^2}\,dx\,dy (это объём полушария).
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 8 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iint_D \frac{dx\,dy}{(1 + x^2 + y^2)^2} по всей плоскости.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 9 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iint_D x\,dx\,dy, D — круг x^2 + y^2 \le 2x.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 10 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iiint_V (x + 2y + 3z)\,dV, V = [0;\,1]\times[0;\,1]\times[0;\,2].
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 11 Ввод формулы
  1. Объём тела, ограниченного z = 0, z = 1 - x - y, x = 0, y = 0 — и умноженный на плотность \mu = x: масса.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 12 Ввод формулы
  1. Объём тела между конусом z = \sqrt{x^2 + y^2} и плоскостью z = 2.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 13 Ввод формулы
  1. Объём тела внутри цилиндра x^2 + y^2 \le 1 между плоскостями z = 0 и z = 2 + x.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 14 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iiint_{x^2 + y^2 + z^2 \le 4} \frac{dV}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 15 Ввод формулы
  1. Площадь части конуса z = \sqrt{x^2 + y^2} при 0 \le z \le 1.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.