Интегралы: полный курс / Криволинейные и поверхностные интегралы / урок 57 из 64

Потенциальные поля

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 10

Независимость от пути

Работа силы тяжести зависит только от перепада высот, а не от формы пути. Поля с таким свойством называются потенциальными (консервативными).

Теорема. Для непрерывного поля $\vec F = (P, Q)$ в области $D$ равносильны:

$\int_{AB}P\,dx + Q\,dy$ не зависит от пути из $A$ в $B$ ;
$\oint_L P\,dx + Q\,dy = 0$ по любому замкнутому контуру в $D$ ;
существует функция $\varphi$ (потенциал), для которой $\vec F = \operatorname{grad}\varphi$ , то есть $P = \varphi_x$ , $Q = \varphi_y$ — выражение $P\,dx + Q\,dy = d\varphi$ является полным дифференциалом.

И тогда

\int_A^BP\,dx + Q\,dy = \varphi(B) - \varphi(A)

— формула Ньютона–Лейбница для криволинейных интегралов.

Признак

Если $\vec F = \operatorname{grad}\varphi$ , то $P_y = \varphi_{xy} = \varphi_{yx} = Q_x$ . Значит, необходимое условие потенциальности:

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.

В односвязной области (без дырок: любой замкнутый контур стягивается в точку) оно и достаточно — по формуле Грина циркуляция равна $\iint(Q_x - P_y) = 0$ .

В пространстве условие — $\operatorname{rot}\vec F = 0$ :

R_y = Q_z, \qquad P_z = R_x, \qquad Q_x = P_y.

Как найти потенциал

Способ 1: интегрирование по ломаной. $\varphi(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)}P\,dx + Q\,dy$ по пути из двух отрезков, параллельных осям:

\varphi(x, y) = \int_{x_0}^xP(t, y_0)\,dt + \int_{y_0}^yQ(x, t)\,dt.

Способ 2: восстановление по частным производным. Из $\varphi_x = P$ : $\varphi = \int P\,dx + C(y)$ . Дифференцируем по $y$ , приравниваем к $Q$ и находим $C'(y)$ .

Пример. $\vec F = (2xy + 3, x^2 - 4y)$ . Проверка: $P_y = 2x = Q_x$ ✓. $\varphi = x^2y + 3x + C(y)$ , $\varphi_y = x^2 + C'(y) = x^2 - 4y$ , $C = -2y^2$ . Итак, $\varphi = x^2y + 3x - 2y^2$ .

import sympy as sp

x, y, z, t = sp.symbols("x y z t")

def potential_2d(P, Q):
    if sp.simplify(sp.diff(P, y) - sp.diff(Q, x)) != 0:
        return None
    phi = sp.integrate(P, x)
    C = sp.integrate(sp.simplify(Q - sp.diff(phi, y)), y)
    return sp.simplify(phi + C)

print(potential_2d(2*x*y + 3, x**2 - 4*y))
print(potential_2d(sp.exp(x) * sp.cos(y), -sp.exp(x) * sp.sin(y)))
print(potential_2d(-y, x))                       # не потенциально → None

# проверка независимости от пути: две разные кривые из (0,0) в (1,2)
P, Q = 2*x*y + 3, x**2 - 4*y
for name, (X, Y) in {"прямая": (t, 2*t), "парабола": (t, 2*t**2), "кубика": (t**3, 2*t)}.items():
    val = sp.integrate(P.subs({x: X, y: Y}) * sp.diff(X, t) + Q.subs({x: X, y: Y}) * sp.diff(Y, t), (t, 0, 1))
    print(f"{name}: {val}")

Энергия

В механике сила $\vec F = -\operatorname{grad}U$ , где $U$ — потенциальная энергия. Работа $A = U(A) - U(B)$ идёт на приращение кинетической энергии, откуда $\frac{mv^2}{2} + U = \text{const}$ — закон сохранения энергии. Гравитационное и электростатическое поля потенциальны (потенциал $\sim\frac1r$ ), а сила трения — нет: работа против трения зависит от длины пути.

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение $P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy = 0$ при $P_y = Q_x$ решается сразу: его общее решение $\varphi(x, y) = C$ , где $\varphi$ — потенциал. Например, $(2xy + 3)\,dx + (x^2 - 4y)\,dy = 0$ имеет решения $x^2y + 3x - 2y^2 = C$ .

Итог

Потенциальное поле: $\vec F = \operatorname{grad}\varphi$ ; работа $= \varphi(B) - \varphi(A)$ , по замкнутому контуру — ноль.
Признак в односвязной области: $P_y = Q_x$ (в пространстве $\operatorname{rot}\vec F = 0$ ).
Потенциал находят интегрированием по ломаной или восстановлением по частным производным.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Найдите потенциал поля $\vec F = (2xy, x^2)$ (с $\varphi(0, 0) = 0$ ). Переменные — $x$ и $y$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Обозначения в ответе: x, y.