Интегралы: полный курс / Приложения определённого интеграла / урок 29 из 64

Площадь плоской фигуры

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 11

Площадь под графиком

Если $f(x) \ge 0$ на $[a; b]$ , то площадь криволинейной трапеции под графиком равна

S = \int_a^b f(x)\,dx.

Если функция меняет знак, интеграл даёт площадь со знаком. Для геометрической площади нужно $\int_a^b|f(x)|\,dx$ : найти нули функции и на участках, где $f < 0$ , взять интеграл с минусом.

Площадь между двумя кривыми

Если $g(x) \le f(x)$ на $[a; b]$ , площадь между графиками

S = \int_a^b\big(f(x) - g(x)\big)\,dx \quad \text{(«верхняя минус нижняя»)}.

Формула верна при любом расположении относительно оси $Ox$ : сдвиг обеих функций на константу не меняет разности.

Алгоритм

Нарисовать фигуру — хотя бы схематично. Это главное, что защищает от ошибок.
Найти точки пересечения линий — они дают пределы интегрирования.
Понять, какая функция сверху на каждом участке. Если линии пересекаются внутри отрезка, разбить его.
Выбрать переменную интегрирования: иногда удобнее $y$ .
Вычислить интеграл.

Пример. Площадь между $y = x^2 - 2x$ и $y = x$ . Пересечения: $x^2 - 2x = x$ , $x = 0$ и $x = 3$ . На $(0; 3)$ прямая выше (проверим $x = 1$ : $1 > -1$ ).

S = \int_0^3\big(x - (x^2 - 2x)\big)dx = \int_0^3(3x - x^2)\,dx = \frac{27}{2} - 9 = \frac92.

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(-0.5, 3.5, 400)
vis.area(x, {"y = x² − 2x": x**2 - 2*x, "y = x": x}, between=("y = x² − 2x", "y = x"), a=0, b=3,
         title="Фигура между прямой и параболой: x от 0 до 3")
xs = np.linspace(0, 3, 100001)
print("S ≈", round(float(np.trapz(xs - (xs**2 - 2*xs), xs)), 6), "   точно 9/2")

Интегрирование по $y$

Если фигура удобно описывается как «между левой и правой кривой» $x = \psi_1(y)$ и $x = \psi_2(y)$ , то

S = \int_c^d\big(\psi_2(y) - \psi_1(y)\big)\,dy.

Пример. Фигура между $x = y^2$ и $x = y + 2$ . По $x$ пришлось бы разбивать на две части (у параболы две ветви $y = \pm\sqrt x$ ), а по $y$ — одна: правая линия $x = y + 2$ , левая $x = y^2$ , $y \in [-1; 2]$ :

S = \int_{-1}^2(y + 2 - y^2)\,dy = \frac92.

Фигуры с несколькими границами

Если граница сверху (или снизу) меняется, фигуру разбивают на части. Например, фигура, ограниченная $y = \sqrt x$ , $y = 2 - x$ и осью $Ox$ : сверху на $[0; 1]$ — корень, на $[1; 2]$ — прямая.

S = \int_0^1\sqrt x\,dx + \int_1^2(2 - x)\,dx = \frac23 + \frac12 = \frac76.

Или по $y$ одним интегралом: $x$ от $y^2$ до $2 - y$ , $y \in [0; 1]$ : $\int_0^1(2 - y - y^2)\,dy = \frac76$ .

import sympy as sp

x, y = sp.symbols("x y")
# Точки пересечения и площадь между y = 2x + 3 и y = x²
pts = sp.solve(sp.Eq(x**2, 2*x + 3), x)
print("пересечения:", pts)
print("S =", sp.integrate(2*x + 3 - x**2, (x, pts[0], pts[1])))
# Фигура √x, 2 − x, ось Ox — двумя способами
print("по x:", sp.integrate(sp.sqrt(x), (x, 0, 1)) + sp.integrate(2 - x, (x, 1, 2)))
print("по y:", sp.integrate(2 - y - y**2, (y, 0, 1)))

Итог

$S = \int_a^b(f - g)\,dx$ , где $f$ — верхняя кривая, $g$ — нижняя; пределы — точки пересечения.
Где кривые меняются местами — разбить отрезок; для площади под графиком, меняющим знак, интегрировать $|f|$ .
Если фигура удобнее описывается «слева — справа», интегрировать по $y$ .

Практика решено 0 из 11

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Найдите площадь фигуры под параболой $y = 4 - x^2$ и над осью $Ox$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).