Интегралы с параметром

Интеграл как функция параметра

Если подынтегральная функция зависит от параметра a, то и интеграл — функция от a:

Примеры: \int_0^1x^a\,dx = \frac{1}{a + 1}, \int_0^\infty e^{-ax}dx = \frac1a, \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx, преобразования Фурье и Лапласа. Многие функции математической физики определяются именно так.

Вопросы: непрерывна ли I(a)? Можно ли её дифференцировать, интегрируя производную \frac{\partial f}{\partial a}? Можно ли менять порядок интегрирования?

Собственные интегралы: всё можно

Пусть f(x, a) непрерывна на прямоугольнике [c; d]\times[\alpha; \beta].

1. Непрерывность. I(a) непрерывна, и под знаком интеграла можно переходить к пределу:

2. Интегрирование по параметру (теорема Фубини):

3. Дифференцирование (правило Лейбница). Если ещё и \frac{\partial f}{\partial a} непрерывна, то

Правило Лейбница с переменными пределами

Два первых слагаемых — вклад движения пределов (как в основной теореме анализа), третье — изменение самой функции.

import sympy as sp

x, a = sp.symbols("x a", positive=True)
F = sp.integrate((x + a)**2, (x, 0, a))
print("F(a) =", sp.factor(F), "  F'(a) =", sp.diff(F, a))
leibniz = ((a + a)**2) * 1 - ((0 + a)**2) * 0 + sp.integrate(sp.diff((x + a)**2, a), (x, 0, a))
print("по правилу Лейбница:", sp.simplify(leibniz))

Пример: интеграл Фруллани-типа

\int_0^1\frac{x^b - x^a}{\ln x}dx не берётся напрямую. Но \frac{x^b - x^a}{\ln x} = \int_a^b x^y\,dy, и после перестановки порядка:

Несобственные интегралы: нужна равномерная сходимость

С несобственными интегралами всё тоньше. Например,

— разрывна в нуле, хотя подынтегральная функция непрерывна по a. Причина: «хвосты» интеграла сходятся тем медленнее, чем меньше a.

Определение. \int_c^\infty f(x, a)\,dx сходится равномерно на множестве A, если хвосты \left|\int_B^\infty f(x, a)\,dx\right| становятся малыми одновременно для всех a \in A при достаточно большом B.

Признак Вейерштрасса. Если |f(x, a)| \le g(x) для всех a \in A и \int_c^\infty g\,dx сходится, то сходимость равномерная.

При равномерной сходимости (интеграла и, для дифференцирования, интеграла от \frac{\partial f}{\partial a}) теоремы 1–3 остаются верными.

Пример. \int_0^\infty e^{-ax}dx = \frac1a при a \ge a_0 > 0: e^{-ax} \le e^{-a_0x} — равномерно. Дифференцируя n раз: \int_0^\infty x^ne^{-ax}dx = \frac{n!}{a^{n+1}}.

import numpy as np
import vis

a = np.linspace(-3, 3, 121)
x = np.linspace(1e-6, 200, 20001)
dx = x[1] - x[0]
I = [np.sum(np.sin(v * x) / x) * dx for v in a]        # ∫₀^200 sin(ax)/x dx — приближение к ∫₀^∞
vis.line(a, {"∫₀^200 sin(ax)/x dx": I}, title="I(a) ≈ (π/2)·sign a — разрыв в нуле", xlabel="a")

Итог

• Для непрерывной f на прямоугольнике: I(a) непрерывна, порядок интегрирования можно менять, дифференцировать можно под знаком интеграла.
• Правило Лейбница с переменными пределами добавляет f(\psi)\psi' - f(\varphi)\varphi'.
• Для несобственных интегралов нужна равномерная сходимость (признак Вейерштрасса).