Что такое интеграл: площадь и накопление

⏱ 25 мин · 🧩 заданий: 7

Две задачи — один ответ

Интеграл вырос из двух задач, которые на первый взгляд не связаны.

Задача о площади. Как найти площадь фигуры, ограниченной кривой? Площадь прямоугольника, треугольника, трапеции мы знаем, а что делать с фигурой под параболой $y = x^2$ ?

Задача о накоплении. Спидометр каждую секунду показывает скорость $v(t)$ . Какой путь проехала машина? Если бы скорость была постоянной, путь $= v \cdot t$ . Но она меняется.

Оказывается, это одна и та же задача. Путь при постоянной скорости — площадь прямоугольника «скорость × время» под графиком $v(t)$ . Если скорость меняется, разобьём время на маленькие кусочки $\Delta t$ : на каждом скорость почти постоянна, путь $\approx v(t_i)\,\Delta t$ — площадь узкого прямоугольника. Весь путь — сумма таких площадей, то есть площадь под графиком скорости.

Площадь как предел сумм

Попробуйте сами: приблизим площадь под кривой прямоугольниками. Меняйте функцию, отрезок и число прямоугольников $n$ :

При $n = 4$ правые прямоугольники для $y = x^2$ на $[0; 1]$ дают $0{,}469$ — заметно больше точной площади. Но с ростом $n$ прямоугольники становятся уже, «зазубрины» над графиком — меньше, и сумма неограниченно приближается к одному числу — $\frac13$ . Это число и называется определённым интегралом:

\int_0^1 x^2\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{3}

Знак $\int$ — вытянутая буква S (summa, сумма), придуманная Лейбницем. Запись $f(x)\,dx$ напоминает о площади узкого прямоугольника: высота $f(x)$ , ширина $dx$ .

Посчитаем то же самое на Python — сумму для всё большего числа прямоугольников:

import numpy as np

for n in [4, 10, 100, 1000, 10000]:
    x = np.arange(1, n + 1) / n          # правые концы отрезков
    s = np.sum(x ** 2) / n               # сумма площадей прямоугольников
    print(f"n = {n:6}: сумма = {s:.6f}, ошибка = {s - 1/3:.6f}")

Ошибка убывает примерно как $\frac{1}{2n}$ : в 10 раз больше прямоугольников — в 10 раз меньше ошибка.

Чудо: интеграл обратен производной

Считать пределы сумм для каждой функции — тяжёлая работа. Ньютон и Лейбниц нашли обходной путь, и это, пожалуй, главное открытие математического анализа.

Пусть $S(x)$ — площадь под графиком $f$ от $0$ до $x$ . Насколько она вырастет, если сдвинуть правый край на маленькое $dx$ ? На узкую полоску высотой $f(x)$ и шириной $dx$ :

dS \approx f(x)\,dx \quad \Longrightarrow \quad S'(x) = f(x)

Функция площади — это функция, производная которой равна $f$ ! Для $f(x) = x^2$ такой функцией будет $\frac{x^3}{3}$ : её производная — $x^2$ . Значит, площадь от 0 до 1 равна $\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac13$ — без всяких пределов сумм.

Так появляются две стороны интеграла, которым посвящён курс:

неопределённый интеграл $\int f(x)\,dx$ — поиск функции по её производной (первообразной); это «обратное дифференцирование», и ему посвящён большой модуль с методами интегрирования;
определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — число: площадь, путь, работа, масса, вероятность. Основная теорема анализа связывает его с первообразной.

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(0, 1.5, 200)
f = x ** 2
S = x ** 3 / 3                     # площадь под графиком от 0 до x
vis.line(x, {"f(x) = x²": f, "S(x) = площадь от 0 до x = x³/3": S},
         title="Функция и «накопленная» площадь под ней", xlabel="x")

Посмотрите на график: там, где $f$ большая, площадь $S$ растёт быстро; где $f$ близка к нулю, $S$ почти не меняется. Скорость роста площади равна высоте графика.

Что будет в курсе

Подготовка: производные, элементарные функции, суммы и Python как калькулятор.
Неопределённый интеграл: таблица интегралов и все основные методы — подведение под дифференциал, замена переменной, по частям, рациональные, тригонометрические и иррациональные функции.
Определённый интеграл: определение через суммы, свойства, основная теорема анализа.
Приложения: площади, объёмы, длины, физика, вероятность.
Несобственные интегралы, гамма-функция.
Численное интегрирование — когда формулы нет.
Интегралы с параметром и дифференцирование под знаком интеграла.
Кратные интегралы — объёмы и массы в пространстве.
Криволинейные и поверхностные интегралы, формулы Грина, Гаусса–Остроградского и Стокса.
Подготовка к экзамену.

Как отвечать на задания

В большинстве заданий ответ — число или формула. Их можно вводить так, как пишут на бумаге:

Что нужно	Как ввести
$\frac{15}{32}$ , $0{,}469$	`15/32`, `0,469` или `0.469`
$x^2$ , $e^{3x}$	`x^2`, `e^(3x)`
$2x\sin x$	`2x sin(x)` или `2xsin(x)`
$\sqrt{1-x^2}$ , $\ln\lvert x\rvert$	`sqrt(1-x^2)`, `ln\|x\|`
$\pi$ , $\operatorname{arctg} x$	`pi`, `arctg(x)` или `arctan(x)`
$\frac{x^3}{3} + C$	`x^3/3 + C`

Под полем ввода сразу видно, как сайт понял формулу, — сверяйтесь с ним. Ответ проверяется по существу: x^3/3, (1/3)x^3 и x*x*x/3 — одно и то же. В неопределённых интегралах любая первообразная засчитывается (с $+C$ или без), но привыкайте писать $+C$ — о том, почему, в следующих уроках. Десятичные ответы принимаются с точностью около трёх знаков, но точный ответ (дробь, $\pi$ , корни) всегда лучше.

Итог

Интеграл отвечает на два вопроса: площадь под кривой и накопленная величина по скорости её изменения.
Площадь приближается суммами площадей прямоугольников и равна их пределу при измельчении разбиения.
Скорость роста площади под графиком равна значению функции, поэтому интегрирование — операция, обратная дифференцированию.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.

	интеграл скорости	интеграл ускорения	интеграл силы тока
Пройденный путь
Изменение скорости
Прошедший через провод заряд