Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 9 из 64

Подведение под знак дифференциала

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 15

Идея

Вспомним дифференциал: $d\varphi(x) = \varphi'(x)\,dx$ . Читая эту формулу справа налево, можно заносить множитель под дифференциал:

\cos x\,dx = d(\sin x), \qquad 2x\,dx = d(x^2), \qquad \frac{dx}{x} = d(\ln x), \qquad e^x dx = d(e^x), \qquad \frac{dx}{1 + x^2} = d(\operatorname{arctg} x).

Так как формулы таблицы верны для любой переменной, а не только для $x$ (это свойство называется инвариантностью формы), их можно применять, когда под дифференциалом стоит функция:

\int \sin^2 x \cos x\,dx = \int \sin^2 x\,d(\sin x) = \frac{\sin^3 x}{3} + C.

Проверка: $\left(\frac{\sin^3 x}{3}\right)' = \sin^2 x \cos x$ . ✓

Алгоритм

Найти в подынтегральном выражении «сложную» часть $g(x)$ — под корнем, в степени, в знаменателе, в аргументе функции.
Проверить, есть ли рядом множитель, пропорциональный $g'(x)$ .
Занести его под дифференциал: $g'(x)\,dx = d(g(x))$ , подправив коэффициент.
Проинтегрировать по таблице, считая $g$ одной переменной.

Пример. $\int x\,e^{-x^2}dx$ . Внутренняя функция $-x^2$ , её производная $-2x$ , а у нас есть $x$ :

\int x e^{-x^2}dx = -\frac12\int e^{-x^2}\,d(-x^2) = -\frac12 e^{-x^2} + C.

Полезные преобразования дифференциала

dx = \frac1a\,d(ax + b), \qquad x\,dx = \frac12\,d(x^2) = \frac12\,d(x^2 \pm a), \qquad x^2 dx = \frac13\,d(x^3)

\frac{dx}{\sqrt x} = 2\,d(\sqrt x), \qquad \sin x\,dx = -d(\cos x), \qquad \frac{dx}{\cos^2 x} = d(\operatorname{tg} x), \qquad \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = d(\arcsin x)

Два важных частных случая

Логарифмическая производная: если числитель — производная знаменателя,

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \int\frac{d f(x)}{f(x)} = \ln|f(x)| + C.

Отсюда сразу $\int \operatorname{tg} x\,dx = -\int\frac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x| + C$ и $\int \frac{x\,dx}{x^2 + 4} = \frac12\ln(x^2 + 4) + C$ .

Степень функции на её производную:

\int f^n(x) f'(x)\,dx = \frac{f^{n+1}(x)}{n + 1} + C, \quad n \ne -1.

\int \frac{\ln^3 x}{x}dx = \frac{\ln^4 x}{4} + C, \qquad \int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \frac{\arcsin^2 x}{2} + C, \qquad \int \frac{x\,dx}{\sqrt{x^2 + 5}} = \sqrt{x^2 + 5} + C

import sympy as sp

x = sp.symbols("x", positive=True)
for f in [sp.sin(x)**2 * sp.cos(x), x * sp.exp(-x**2), sp.log(x)**3 / x,
          sp.asin(x) / sp.sqrt(1 - x**2), x / sp.sqrt(x**2 + 5), sp.exp(x) / (1 + sp.exp(2*x))]:
    print(f"∫ {str(f):26} dx = {sp.simplify(sp.integrate(f, x))}")

Когда не получается

Если множителя, пропорционального $g'$ , нет, этот приём не сработает: $\int e^{x^2}dx$ (нет множителя $x$ ) вообще не берётся в элементарных функциях, а $\int x^2 e^{x^2}$ — тоже. А вот $\int x^3 e^{x^2}dx$ берётся: $x^3 dx = \frac12 x^2 d(x^2)$ , и после подведения остаётся интеграл по частям. Множитель должен совпадать с точностью до константы — константу можно поправить, а функцию нельзя.

Итог

$\varphi'(x)\,dx = d\varphi(x)$ : множитель-производная прячется под дифференциал, и интеграл становится табличным.
$\int\frac{f'}{f}dx = \ln|f| + C$ , $\int f^n f'\,dx = \frac{f^{n+1}}{n+1} + C$ .
Коэффициент можно подправить, функцию — нельзя.

Практика решено 0 из 15

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

\displaystyle\int \sin^4 x \cos x\,dx

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).