Практикум: определённые интегралы
Указания
1–8: Ньютон–Лейбниц и замена
- 2. \frac34 x^{4/3}\Big|_1^8 = \frac34(16 - 1).
- 3. -\ln\cos x\Big|_0^{\pi/4} = -\ln\frac{\sqrt2}{2}.
- 5. «Высокий логарифм»: \frac12\ln\frac{x - 1}{x + 1}\Big|_2^3 = \frac12\left(\ln\frac12 - \ln\frac13\right).
- 6. t = x^3, t \in [0; 1].
- 7. t = 1 + x^2, t \in [1; 4]: \frac12\int_1^4\sqrt t\,dt.
- 8. t = 1 + \ln x, t \in [1; 3]: \int_1^3\frac{dt}{\sqrt t}.
9–12: по частям
- 9. u = x: x\sin x\Big|_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx.
- 10. u = \ln x: \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e - \frac12\int_1^e x\,dx.
- 11. Дважды по частям: первообразная -(x^2 + 2x + 2)e^{-x}.
- 12. Циклический интеграл: первообразная \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}.
13–20: модули, симметрия, Валлис, переменный предел
- 13. Разбейте в точке x = 1: \frac23 + \frac43.
- 15. Нечётная часть исчезает: \int_{-3}^3 2\,dx.
- 16. Формула Валлиса: \frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2.
- 17. Четверть круга радиуса 2.
- 18. \frac{x}{(x + 1)^3} = \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(x + 1)^3}.
- 19. \cos\left((\sqrt x)^2\right)\cdot(\sqrt x)' = \frac{\cos x}{2\sqrt x}.
- 20. \frac1n\sum\left(\frac kn\right)^3 \to \int_0^1 x^3dx.
Сверка
import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
tasks = [(x**2 * sp.exp(-x), 0, 1), (sp.exp(x) * sp.sin(x), 0, sp.pi), (x * sp.log(x), 1, sp.E), (x / (x + 1)**3, 0, 1)]
for f, a, b in tasks:
v = sp.integrate(f, (x, a, b))
print(f"∫_{a}^{b} {str(f):18} dx = {sp.simplify(v)} ≈ {float(v):.6f}")
Практика решено 0 из 20
Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^2 (x^3 - 2x + 1)\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
2
Задание 2
Ввод формулы
- \displaystyle\int_1^8 \sqrt[3]{x}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
45/4
Задание 3
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{\pi/4} \operatorname{tg} x\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
ln(2)/2
Задание 4
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{x^2 + 9}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi/12
Задание 5
Ввод формулы
- \displaystyle\int_2^3 \frac{dx}{x^2 - 1}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
ln(3/2)/2
Задание 6
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{1} x^2 e^{x^3}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
(e - 1)/3
Задание 7
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{\sqrt3} x\sqrt{1 + x^2}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
7/3
Задание 8
Ввод формулы
- \displaystyle\int_1^{e^2} \frac{dx}{x\sqrt{1 + \ln x}}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
2sqrt(3) - 2
Задание 9
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi/2 - 1
Задание 10
Ввод формулы
- \displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
(e^2 + 1)/4
Задание 11
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{1} x^2 e^{-x}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
2 - 5/e
Задание 12
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
(e^pi + 1)/2
Задание 13
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{2} |x^2 - 1|\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
2
Задание 14
Ввод формулы
- \displaystyle\int_0^{\pi} |\cos x|\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
2
Задание 15
Ввод формулы
- \displaystyle\int_{-3}^{3} \left(x^3\cos x + 2\right)dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
12
Задание 16
Ввод формулы
- \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
3pi/16
Задание 17
Ввод формулы
- \displaystyle\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi
Задание 18
Ввод формулы
- \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x\,dx}{(x + 1)^3}
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
1/8
Задание 19
Ввод формулы
- \displaystyle\frac{d}{dx}\int_{0}^{\sqrt{x}} \cos(t^2)\,dt при x > 0
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
cos(x)/(2sqrt(x))
Задание 20
Ввод формулы
- \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}{n^4} — как интеграл
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
1/4Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.