Площадь в параметрической и полярной форме

Параметрические кривые

Пусть кривая задана уравнениями x = x(t), y = y(t), t \in [\alpha; \beta], причём x(t) монотонна, а y \ge 0. Тогда площадь под ней получается заменой x = x(t) в \int y\,dx:

(Если x убывает при росте t, получится площадь со знаком минус — берём модуль.)

Пример: циклоида. Точка на ободе катящегося колеса радиуса 1 описывает кривую x = t - \sin t, y = 1 - \cos t. Площадь под одной аркой:

Галилей пытался найти эту площадь, вырезая фигуры из металла и взвешивая их; Роберваль доказал строго: ровно три площади колеса.

Площадь замкнутой кривой

Если замкнутая кривая без самопересечений обходится против часовой стрелки при t \in [\alpha; \beta], то

Эта формула — частный случай формулы Грина (последний модуль). Её удобство: не надо разбивать кривую на «верх» и «низ».

Эллипс x = a\cos t, y = b\sin t: xy' - yx' = ab\cos^2t + ab\sin^2t = ab, и S = \frac12\cdot ab\cdot2\pi = \pi ab.

import numpy as np
import vis

t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 2001)
curves = {
    "эллипс 4cos t, 3sin t": (4 * np.cos(t), 3 * np.sin(t)),
    "астроида cos³t, sin³t": (np.cos(t)**3, np.sin(t)**3),
}
for name, (x, y) in curves.items():
    dx, dy = np.gradient(x, t), np.gradient(y, t)
    S = 0.5 * np.trapz(x * dy - y * dx, t)
    print(f"{name}: S ≈ {S:.5f}")
print("12π =", 12 * np.pi, "   3π/8 =", 3 * np.pi / 8)
vis.plane({name: xy for name, xy in curves.items()}, title="Замкнутые кривые: площадь = ½∮(x dy − y dx)",
          fill=list(curves))

Полярные координаты

Точка задаётся расстоянием r до начала координат и углом \varphi: x = r\cos\varphi, y = r\sin\varphi. Кривая — уравнением r = r(\varphi).

Фигура, ограниченная лучами \varphi = \alpha, \varphi = \beta и кривой r = r(\varphi) (криволинейный сектор), разбивается на узкие секторы с углом d\varphi. Площадь каждого \approx\frac12r^2d\varphi, поэтому

Кардиоида r = a(1 + \cos\varphi):

Розы r = \sin k\varphi: при нечётном k — k лепестков, при чётном — 2k. Площадь каждого лепестка находится по промежутку \varphi, на котором r \ge 0.

import numpy as np
import vis

phi = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1201)
polar = {"кардиоида 1 + cos φ": 1 + np.cos(phi), "роза sin 3φ": np.sin(3 * phi)}
vis.plane({name: (r * np.cos(phi), r * np.sin(phi)) for name, r in polar.items()},
          title="Кривые в полярных координатах", fill=list(polar))

r = np.sin(3 * phi)
r_pos = np.where(r > 0, r, 0)           # роза sin 3φ рисуется при r ≥ 0 (при r < 0 лепестки повторяются)
print("площадь розы ≈", round(0.5 * float(np.trapz(r_pos**2, phi)), 6), "  π/4 =", round(np.pi / 4, 6))
print("площадь кардиоиды ≈", round(0.5 * float(np.trapz((1 + np.cos(phi))**2, phi)), 6), "  3π/2 =", round(1.5 * np.pi, 6))

Итог

• Параметрическая кривая: S = \int y(t)\,x'(t)\,dt; замкнутая кривая: S = \frac12\int(xy' - yx')\,dt.
• Полярные координаты: S = \frac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\varphi.
• Циклоида — 3\pi a^2, эллипс — \pi ab, кардиоида — \frac32\pi a^2, астроида — \frac38\pi a^2.