Интегралы: полный курс / Определённый интеграл / урок 25 из 64

Формула Ньютона–Лейбница

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 12

Формула

Теорема (Ньютон, Лейбниц). Если f непрерывна на [a; b] и F — любая её первообразная на этом отрезке, то

\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)}

Доказательство. По основной теореме анализа \Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt — первообразная f. Две первообразные отличаются на константу: F(x) = \Phi(x) + C. Тогда F(b) - F(a) = \Phi(b) - \Phi(a) = \int_a^b f\,dt - 0. \blacksquare

Разность F(b) - F(a) записывают с помощью двойной подстановки:

\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = \big[F(x)\big]_a^b.

Константа C при вычитании сокращается, поэтому её не пишут.

Эта формула — одно из главных открытий математики: вместо утомительного предела сумм достаточно найти первообразную. Задача Архимеда о площади под параболой решается в одну строку:

\int_0^1 x^2dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \frac13.

Примеры

\int_0^\pi\sin x\,dx = -\cos x\Big|_0^\pi = -(-1) + 1 = 2, \qquad \int_1^4\sqrt x\,dx = \frac23x^{3/2}\Big|_1^4 = \frac23(8 - 1) = \frac{14}{3}.
\int_0^1\frac{x\,dx}{1 + x^2} = \frac12\ln(1 + x^2)\Big|_0^1 = \frac{\ln 2}{2}, \qquad \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}x\Big|_0^{\pi/4} = 1.
import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
for f, a, b in [(x**2, 0, 1), (sp.sin(x), 0, sp.pi), (sp.sqrt(x), 1, 4), (x / (1 + x**2), 0, 1), (1 / sp.cos(x)**2, 0, sp.pi / 4)]:
    F = sp.integrate(f, x)
    value = sp.simplify(F.subs(x, b) - F.subs(x, a))
    print(f"∫_{a}^{b} {str(f):14} dx = [{F}] = {value} ≈ {float(value):.6f}")

Кусочные функции и модули

Если функция задана разными формулами на разных участках или содержит модуль, отрезок разбивают по точкам смены формулы (аддитивность) и на каждом участке применяют формулу Ньютона–Лейбница.

\int_0^3|x^2 - 1|\,dx = \int_0^1(1 - x^2)\,dx + \int_1^3(x^2 - 1)\,dx = \frac23 + \frac{20}{3} = \frac{22}{3}.

Ловушки

1. Разрыв подынтегральной функции. Формула требует непрерывности f на всём отрезке. Пример с \int_{-1}^1\frac{dx}{x^2} показывает, что «формальное» применение даёт абсурдный ответ: отрицательный интеграл от положительной функции.

2. Первообразная должна быть первообразной на всём отрезке. Например, после универсальной подстановки для \int_0^{2\pi}\frac{dx}{2 + \cos x} получается F(x) = \frac{2}{\sqrt3}\operatorname{arctg}\left(\frac{\operatorname{tg}(x/2)}{\sqrt3}\right), и F(2\pi) - F(0) = 0, хотя интеграл от положительной функции положителен! Дело в том, что F разрывна в x = \pi. Правильно — разбить отрезок или подобрать непрерывную первообразную: ответ \frac{2\pi}{\sqrt3}.

import numpy as np

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 200001)
F = lambda x: 2 / np.sqrt(3) * np.arctan(np.tan(x / 2) / np.sqrt(3))
print("F(2π) − F(0)  =", round(float(F(2 * np.pi) - F(0)), 6) + 0.0, " ← неверно")
print("численно ∫     =", round(float(np.trapz(1 / (2 + np.cos(x)), x)), 6))
print("2π/√3          =", round(2 * np.pi / np.sqrt(3), 6))

Физический смысл

Если v(t) — скорость, то s(t) — первообразная, и

\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt = s(t_2) - s(t_1)

— перемещение за время от t_1 до t_2. Путь (с учётом движения назад) — \int|v|\,dt. Аналогично: интеграл от скорости изменения любой величины равен её полному изменению. Расход воды — объём, мощность — работа, скорость роста — прирост.

Итог

  • \int_a^b f\,dx = F(b) - F(a) для непрерывной на [a; b] функции и любой её первообразной.
  • Кусочные функции и модули — разбиваем отрезок.
  • Проверяйте непрерывность f и F на всём отрезке.

Практика решено 0 из 12

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы
\displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 2x)\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 2 Ввод формулы
\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 3 Ввод формулы
\displaystyle\int_1^e \frac{dx}{x}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 4 Ввод формулы
\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 5 Ввод формулы
\displaystyle\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 6 Ввод формулы
\displaystyle\int_1^4 \frac{x + 1}{\sqrt{x}}\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 7 Ввод формулы
\displaystyle\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 8 Ввод формулы
\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2 x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 9 Ввод формулы
\displaystyle\int_{-1}^{2} |x - 1|\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 10 Ввод формулы

f(x) = x^2 при x \le 1 и f(x) = 2 - x при x > 1. Найдите \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 11 Ввод формулы

Скорость тела v(t) = 6t - 3t^2 м/с. Какой путь (не перемещение!) оно пройдёт за t \in [0;\,3] с?

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 12 Один вариант ответа

Ученик посчитал \int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2} = \left[-\frac1x\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2. В чём ошибка?

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.