Интегралы: полный курс / Криволинейные и поверхностные интегралы / урок 54 из 64

Криволинейный интеграл первого рода

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 9

Задача о массе проволоки

Пусть проволока имеет форму кривой $L$ , и её линейная плотность $\rho(x, y)$ меняется от точки к точке. Разобьём кривую на маленькие дуги длины $\Delta s_k$ ; масса каждой $\approx\rho(M_k)\Delta s_k$ . Предел сумм

\int_L f(x, y)\,ds = \lim_{\lambda\to0}\sum f(M_k)\,\Delta s_k

называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги).

Смысл: - $\int_L ds$ — длина кривой; - $\int_L\rho\,ds$ — масса проволоки; - $\frac{1}{|L|}\int_L f\,ds$ — среднее значение функции на кривой; - при $f \ge 0$ — площадь вертикального «забора» высоты $f$ над кривой $L$ .

Вычисление

Если кривая задана параметрически $x = x(t)$ , $y = y(t)$ , $t \in [\alpha; \beta]$ , то $ds = \sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$ и

\int_L f\,ds = \int_\alpha^\beta f\big(x(t), y(t)\big)\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt,

причём $\alpha < \beta$ — независимо от того, в каком направлении обходится кривая. Для пространственной кривой добавляется $z'^2$ .

Частные случаи: - график $y = y(x)$ : $ds = \sqrt{1 + y'^2}\,dx$ ; - полярная кривая $r = r(\varphi)$ : $ds = \sqrt{r^2 + r'^2}\,d\varphi$ ; - окружность радиуса $R$ : $x = R\cos t$ , $y = R\sin t$ , $ds = R\,dt$ .

Пример. $\int_L xy\,ds$ по четверти окружности $x = 2\cos t$ , $y = 2\sin t$ , $t \in [0; \frac\pi2]$ :

\int_0^{\pi/2}4\cos t\sin t\cdot2\,dt = 4\sin^2t\Big|_0^{\pi/2} = 4.

import sympy as sp

t = sp.symbols("t", real=True)

def line_integral_1(f, x, y, z, a, b):
    """∫_L f ds для кривой (x(t), y(t), z(t)), t от a до b."""
    ds = sp.sqrt(sp.diff(x, t)**2 + sp.diff(y, t)**2 + sp.diff(z, t)**2)
    return sp.simplify(sp.integrate(sp.simplify(f(x, y, z) * ds), (t, a, b)))

print("забор над четвертью окружности:", line_integral_1(lambda x, y, z: x * y, 2 * sp.cos(t), 2 * sp.sin(t), 0, 0, sp.pi / 2))
print("масса винтовой линии:", line_integral_1(lambda x, y, z: z, sp.cos(t), sp.sin(t), t, 0, 2 * sp.pi))
print("длина параболы y = x² от 0 до 1:", line_integral_1(lambda x, y, z: 1, t, t**2, 0, 0, 1))

Центр масс и моменты дуги

\bar x = \frac{1}{m}\int_L x\rho\,ds, \qquad \bar y = \frac1m\int_L y\rho\,ds, \qquad I_O = \int_L(x^2 + y^2)\rho\,ds.

Однородная полуокружность радиуса $R$ : $\bar y = \frac{\int_0^\pi R\sin t\cdot R\,dt}{\pi R} = \frac{2R}{\pi}$ . Проверка по Паппу–Гульдину: вращая полуокружность вокруг диаметра, получаем сферу площадью $2\pi\cdot\frac{2R}{\pi}\cdot\pi R = 4\pi R^2$ ✓.

import numpy as np
import vis

t = np.linspace(0, np.pi, 400)
x, y = np.cos(t), np.sin(t)
vis.plane({"полуокружность": (x, y)}, points={"центр масс дуги (0; 2/π)": (0, 2 / np.pi), "центр масс полукруга (0; 4/3π)": (0, 4 / (3 * np.pi))},
          title="Центр масс дуги выше, чем у полукруга")

Свойства

Линейность и аддитивность по кривой — как у обычного интеграла. Главное: интеграл первого рода не зависит от направления обхода, потому что $ds > 0$ .

Итог

$\int_L f\,ds$ — масса проволоки, длина ( $f = 1$ ), площадь «забора».
$\int_L f\,ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t))\sqrt{x'^2 + y'^2}\,dt$ , $\alpha < \beta$ .
Не зависит от направления обхода.

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

$\displaystyle\int_L (x + y)\,ds$ , $L$ — отрезок от $(0, 0)$ до $(3, 4)$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).