Интегралы: полный курс / Определённый интеграл / урок 24 из 64

Интеграл с переменным верхним пределом

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 9

Интеграл как функция верхнего предела

Пусть $f$ интегрируема на $[a; b]$ . Для каждого $x \in [a; b]$ определим

\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt

— площадь под графиком от $a$ до $x$ . Переменная интегрирования переименована в $t$ , чтобы не путать с пределом $x$ .

Свойство 1. $\Phi$ непрерывна (даже если $f$ разрывна): $|\Phi(x + h) - \Phi(x)| = \left|\int_x^{x+h}f\,dt\right| \le M|h| \to 0$ .

Основная теорема анализа

Теорема (Барроу). Если $f$ непрерывна на $[a; b]$ , то $\Phi$ дифференцируема и

\Phi'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).

Доказательство. По теореме о среднем

\frac{\Phi(x + h) - \Phi(x)}{h} = \frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt = f(\xi_h), \quad \xi_h \text{ между } x \text{ и } x + h.

При

h \to 0

точка

\xi_h \to x

, а по непрерывности

f(\xi_h) \to f(x)

\blacksquare

Наглядно: при сдвиге $x$ на $h$ площадь прирастает узкой полоской ширины $h$ и высоты примерно $f(x)$ . Скорость роста площади равна высоте графика.

Следствие. У любой непрерывной на промежутке функции есть первообразная — например, $\Phi(x)$ . Так доказывается обещанное в начале модуля.

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(0, 4 * np.pi, 800)
f = np.cos(x) * np.exp(-x / 6)
dx = x[1] - x[0]
Phi = np.concatenate([[0], np.cumsum((f[1:] + f[:-1]) / 2) * dx])      # накопленная площадь
dPhi = np.gradient(Phi, x)                                              # численная производная
vis.line(x, {"f(x)": f, "Φ(x) = ∫₀ˣ f dt": Phi, "Φ′(x) численно": dPhi + 0.02},
         title="Производная накопленной площади совпадает с f (сдвинута на 0,02)", xlabel="x")

Посмотрите на график: $\Phi$ растёт там, где $f > 0$ , убывает где $f < 0$ , а экстремумы $\Phi$ — в нулях $f$ .

Переменные пределы

Если оба предела зависят от $x$ , по цепному правилу

\frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(t)\,dt = f\big(\beta(x)\big)\,\beta'(x) - f\big(\alpha(x)\big)\,\alpha'(x).

Действительно, $\int_{\alpha}^{\beta}f = F(\beta) - F(\alpha)$ для любой первообразной $F$ , и остаётся продифференцировать сложные функции.

\frac{d}{dx}\int_{x}^{x^3}\ln t\,dt = \ln(x^3)\cdot 3x^2 - \ln x = (9x^2 - 1)\ln x.

import sympy as sp

x, t = sp.symbols("x t", positive=True)
Phi = sp.Integral(sp.log(t), (t, x, x**3))
print("напрямую:", sp.simplify(sp.diff(Phi.doit(), x)))
print("формула :", sp.simplify(sp.log(x**3) * 3*x**2 - sp.log(x)))
print("без вычисления первообразной:", sp.diff(sp.Integral(sp.exp(-t**2), (t, 0, x**2)), x))

Функции, заданные интегралом

Многие важные функции определяются как интеграл с переменным пределом:

\ln x = \int_1^x\frac{dt}{t}, \qquad \operatorname{arctg}x = \int_0^x\frac{dt}{1 + t^2}, \qquad \operatorname{erf}x = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt.

Из определения логарифма можно вывести все его свойства. Например, $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ : функция $g(x) = \ln(ax)$ имеет производную $\frac{a}{ax} = \frac1x$ , значит, $\ln(ax) = \ln x + C$ , и при $x = 1$ получаем $C = \ln a$ .

С такими функциями работают как с обычными: исследуют монотонность, экстремумы, пределы — дифференцируя по основной теореме.

Итог

$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ непрерывна; если $f$ непрерывна, то $\Phi'(x) = f(x)$ .
Любая непрерывная функция имеет первообразную.
$\frac{d}{dx}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f\,dt = f(\beta)\beta' - f(\alpha)\alpha'$ .

Практика решено 0 из 9

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

$\Phi(x) = \displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\,dt$ . Найдите $\Phi'(x)$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).