Интегралы: полный курс / Введение и подготовка / урок 4 из 64

Суммы и знак Σ

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 8

Знак суммы

Длинные суммы записывают знаком $\Sigma$ (греческая «сигма»):

\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n

$k$ — индекс суммирования (его имя не важно: $\sum_{k} a_k = \sum_{i} a_i$ ), $1$ и $n$ — нижний и верхний пределы. Например, $\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$ .

В Python это просто sum:

print(sum(k**2 for k in range(1, 5)))          # Σ k², k = 1..4
print(sum(1 / 2**k for k in range(0, 30)))     # почти 2: геометрическая прогрессия

Свойства

\sum (a_k \pm b_k) = \sum a_k \pm \sum b_k, \qquad \sum c\,a_k = c\sum a_k, \qquad \sum_{k=1}^{n} c = cn

Это линейность — у интеграла будут ровно те же свойства, потому что интеграл и есть предел сумм. А вот сумма произведений не раскладывается: $\sum a_k b_k \ne \sum a_k \sum b_k$ .

Полезные формулы

\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Геометрическая прогрессия:

\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{1 - q^n}{1 - q}, \qquad \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1 - q} \quad (|q| < 1)

SymPy знает эти формулы:

import sympy as sp

k, n = sp.symbols("k n", integer=True, positive=True)
for expr in [k, k**2, k**3, 2*k - 1]:
    print(f"Σ ({expr}) от k=1 до n =", sp.factor(sp.summation(expr, (k, 1, n))))

Предел последовательности

Последовательность $a_n$ стремится к числу $A$ , если её члены становятся сколь угодно близки к $A$ при больших $n$ : $\lim_{n\to\infty} a_n = A$ . Для дробей с многочленами работает правило старших степеней:

\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3 + 5n}{6n^3 - 1} = \frac{2}{6} = \frac13

Площадь под параболой — как до Ньютона

Архимед и математики XVII века находили площади именно так. Разобьём $[0; 1]$ на $n$ равных частей шириной $\frac1n$ и возьмём правые прямоугольники для $y = x^2$ :

S_n = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{2}{6} = \frac13

Это работает, но для каждой новой функции нужна своя формула суммы, а для $\sin x$ или $\frac1x$ всё намного сложнее. Основная теорема анализа избавит нас от этой работы.

import sympy as sp
import vis

n = sp.symbols("n", positive=True)
k = sp.symbols("k", integer=True)
S = sp.summation((k / n)**2 / n, (k, 1, n))
print("S_n =", sp.factor(sp.simplify(S)))
print("предел:", sp.limit(S, n, sp.oo))
values = [float(S.subs(n, m)) for m in range(1, 41)]
vis.line(list(range(1, 41)), {"S_n": values, "1/3": [1/3] * 40}, title="Суммы прямоугольников сходятся к 1/3", xlabel="n")

Итог

$\sum_{k=1}^n a_k$ — краткая запись суммы; сумма линейна, как и интеграл.
Формулы для $\sum k$ , $\sum k^2$ , $\sum k^3$ и геометрической прогрессии стоит помнить.
Площадь под кривой — предел сумм площадей прямоугольников; так она считалась до открытия основной теоремы анализа.

Практика решено 0 из 8

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Вычислите $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).