Интегралы: полный курс / Приложения определённого интеграла / урок 35 из 64

Интегралы в теории вероятностей

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 10

Плотность вероятности

Рост человека, время до поломки, ошибка измерения — непрерывные случайные величины: они принимают любое значение из промежутка. Вероятность каждого отдельного значения равна нулю, поэтому распределение описывают плотностью $p(x) \ge 0$ :

P(a \le X \le b) = \int_a^b p(x)\,dx.

Вероятность — площадь под графиком плотности. Так как $X$ где-то обязательно окажется,

\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\,dx = 1 \qquad \text{(условие нормировки)}.

Функция распределения $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^x p(t)\,dt$ . По основной теореме анализа $F'(x) = p(x)$ .

Числовые характеристики

Аналоги средних для дискретных величин — интегралы:

EX = \int_{-\infty}^{+\infty}x\,p(x)\,dx, \qquad DX = \int_{-\infty}^{+\infty}(x - EX)^2p(x)\,dx = EX^2 - (EX)^2.

$EX$ — центр масс «пластины» с плотностью $p$ ; $\sigma = \sqrt{DX}$ — стандартное отклонение, типичный разброс.

Три главных распределения

Распределение	Плотность	$EX$	$DX$
Равномерное на $[a; b]$	$\frac{1}{b - a}$	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{(b - a)^2}{12}$
Экспоненциальное, $\lambda > 0$	$\lambda e^{-\lambda x}$ , $x \ge 0$	$\frac1\lambda$	$\frac{1}{\lambda^2}$
Нормальное $N(\mu, \sigma^2)$	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$

Интегралы для экспоненциального распределения берутся по частям: $\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx = \frac1\lambda$ . Это пример несобственного интеграла — по бесконечному промежутку (подробно — в следующем модуле).

Нормальное распределение

Плотность нормального распределения — колокол Гаусса. Её первообразная не элементарна (это $\operatorname{erf}$ ), поэтому вероятности находят по таблицам или численно:

P(|X - \mu| \le k\sigma) = \operatorname{erf}\frac{k}{\sqrt2}: \quad 68{,}3\% \;(k = 1), \quad 95{,}4\% \;(k = 2), \quad 99{,}7\% \;(k = 3).

Последнее — правило трёх сигм. Нормировку $\int e^{-x^2/2}dx = \sqrt{2\pi}$ мы докажем в модуле о кратных интегралах.

import numpy as np
import vis
from math import erf, sqrt

x = np.linspace(-4, 4, 801)
p = np.exp(-x**2 / 2) / np.sqrt(2 * np.pi)
vis.area(x, {"плотность N(0, 1)": p}, between="плотность N(0, 1)", a=-1, b=1, title="P(−1 ≤ X ≤ 1) ≈ 68,3% — закрашенная площадь")
for k in (1, 2, 3):
    xs = np.linspace(-k, k, 100001)
    num = np.trapz(np.exp(-xs**2 / 2) / np.sqrt(2 * np.pi), xs)
    print(f"P(|X| ≤ {k}σ): интеграл ≈ {num:.5f},  erf(k/√2) = {erf(k / sqrt(2)):.5f}")

Проверка моделированием

Интеграл можно «проверить экспериментом»: сгенерировать много случайных значений и посчитать долю попавших в отрезок. Этот же приём — основа метода Монте-Карло.

import numpy as np
import vis

rng = np.random.default_rng(1)
t = rng.exponential(scale=10, size=200000)          # время ожидания автобуса
print("доля ожиданий > 20 мин:", round(float(np.mean(t > 20)), 4), "   e⁻² =", round(float(np.exp(-2)), 4))
print("среднее время:", round(float(t.mean()), 3), "мин   (теория: 10)")
counts, edges = np.histogram(t, bins=60, range=(0, 60), density=True)
mids = (edges[:-1] + edges[1:]) / 2
vis.line(mids, {"гистограмма": counts, "плотность e^(−t/10)/10": np.exp(-mids / 10) / 10}, title="Гистограмма выборки повторяет плотность", xlabel="t, мин")

Итог

$P(a \le X \le b) = \int_a^b p\,dx$ ; $\int p\,dx = 1$ ; $F' = p$ .
$EX = \int xp\,dx$ , $DX = \int(x - EX)^2p\,dx$ .
Нормальное распределение: вероятности через $\operatorname{erf}$ , правило трёх сигм.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Плотность $p(x) = c\,x^2$ на $[0;\,3]$ (и $0$ вне). Найдите $c$ из условия нормировки.

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).