Интегралы: полный курс / Неопределённый интеграл / урок 6 из 64

Первообразная и неопределённый интеграл

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 10

Обратная задача

Дифференцирование отвечает на вопрос: «как быстро меняется величина?» Зная путь $s(t)$ , мы находим скорость $v(t) = s'(t)$ . Но часто нужно обратное: известна скорость, а найти надо путь. Известна скорость роста популяции — найти численность. Известна плотность — найти массу.

Определение. Функция $F$ называется первообразной функции $f$ на промежутке $I$ , если для всех $x \in I$

F'(x) = f(x).

Примеры: $x^2$ — первообразная для $2x$ ; $\sin x$ — для $\cos x$ ; $-\cos x$ — для $\sin x$ ; $\frac{x^4}{4}$ — для $x^3$ .

Первообразных бесконечно много

Если $F$ — первообразная, то $F + 5$ , $F - \pi$ и вообще $F + C$ — тоже первообразные: производная константы равна нулю. Верно и обратное.

Теорема. Если $F_1$ и $F_2$ — две первообразные функции $f$ на промежутке, то $F_1 - F_2$ — постоянная.

Доказательство. $(F_1 - F_2)' = f - f = 0$ на всём промежутке. По теореме Лагранжа функция с нулевой производной на промежутке постоянна: $\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(\xi)(b - a) = 0$ . $\blacksquare$

Важно слово промежуток: на объединении промежутков константы могут быть разными. Например, функция, равная $\ln x$ при $x>0$ и $\ln(-x) + 7$ при $x<0$ , — тоже первообразная для $\frac1x$ на $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Геометрически: графики всех первообразных получаются друг из друга сдвигом вдоль оси $Oy$ . В любой точке $x$ касательные к ним параллельны — их наклон один и тот же, $f(x)$ .

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(-2, 2, 200)
vis.line(x, {f"x³/3 + {C}": x**3 / 3 + C for C in [-1, 0, 1, 2]},
         title="Первообразные f(x) = x²: одна кривая, сдвинутая по вертикали", xlabel="x")

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом функции $f$ называется множество всех её первообразных:

\int f(x)\,dx = F(x) + C,

где $F$ — какая-нибудь первообразная, а $C$ — произвольная постоянная. Здесь $\int$ — знак интеграла (вытянутая буква S, от summa), $f(x)$ — подынтегральная функция, $f(x)\,dx$ — подынтегральное выражение, $x$ — переменная интегрирования.

\int 2x\,dx = x^2 + C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C, \qquad \int e^x\,dx = e^x + C

Нахождение неопределённого интеграла называется интегрированием.

Простейшие свойства

Интегрирование и дифференцирование взаимно обратны (с точностью до константы):

\left(\int f(x)\,dx\right)' = f(x), \qquad d\int f(x)\,dx = f(x)\,dx,

\int F'(x)\,dx = F(x) + C, \qquad \int dF(x) = F(x) + C.

Отсюда и главный способ проверить ответ: продифференцировать его.

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
for f in [3*x**2, sp.cos(x), sp.exp(x), sp.sin(2*x), 1 / (1 + x**2)]:
    F = sp.integrate(f, x)
    print(f"∫ {str(f):12} dx = {str(F):14} + C     проверка: F' = {sp.simplify(sp.diff(F, x))}")

Существование

Есть ли первообразная у каждой функции? Нет: у функции «знак $x$ » (−1 слева от нуля, +1 справа) на всей прямой первообразной нет — производная не может иметь скачков (теорема Дарбу). Но у любой непрерывной на промежутке функции первообразная существует — это мы докажем в модуле об определённом интеграле.

Существовать — не значит выражаться формулой. Первообразные $e^{-x^2}$ , $\frac{\sin x}{x}$ , $\sqrt{1 + x^3}$ есть, но через элементарные функции они не записываются. Таким интегралам посвящён отдельный урок.

Константа и начальное условие

Произвольная постоянная определяется дополнительным условием. Если известно значение $F(x_0) = y_0$ , подставляем его в $F(x) + C$ и находим $C$ .

Пример. Тело движется со скоростью $v(t) = 3t^2 + 1$ м/с, в момент $t = 0$ оно в точке $s = 4$ . Тогда

s(t) = \int (3t^2 + 1)\,dt = t^3 + t + C, \qquad s(0) = C = 4, \qquad s(t) = t^3 + t + 4.

import sympy as sp

t, C = sp.symbols("t C")
s = sp.integrate(3*t**2 + 1, t) + C
C_value = sp.solve(sp.Eq(s.subs(t, 0), 4), C)[0]
print("s(t) =", s.subs(C, C_value))
print("путь за первые 2 секунды:", (s.subs(C, C_value).subs(t, 2) - 4), "м")

Как вводить ответ в задачах

Ответ — формула; $+ C$ писать можно, а можно и не писать: сайт принимает любую первообразную, сравнивая функции численно с точностью до константы. Если ответ отличается от верного множителем или знаком — сайт подскажет. Синтаксис описан под полем ввода в разделе «Как вводить формулы».

Итог

$F$ — первообразная для $f$ , если $F' = f$ .
Две первообразные на промежутке отличаются на константу; $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ — все первообразные сразу.
$\left(\int f\,dx\right)' = f$ , $\int F'\,dx = F + C$ ; ответ проверяется дифференцированием.
Константа находится из начального условия.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Один вариант ответа

Функция $F$ называется первообразной функции $f$ на промежутке, если…

f'(x) = F(x)

F'(x) = f(x)

для всех

x

из промежутка

F(x) = f(x) + C

F(x) \ge f(x)

Задание 2 Ввод формулы

Найдите какую-нибудь первообразную функции $f(x) = 3x^2$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).