Интегралы: полный курс / Кратные интегралы / урок 51 из 64

Цилиндрические и сферические координаты

⏱ 45 мин · 🧩 заданий: 10

Цилиндрические координаты

Полярные координаты в плоскости $Oxy$ плюс высота $z$ :

x = r\cos\varphi, \quad y = r\sin\varphi, \quad z = z; \qquad dV = r\,dr\,d\varphi\,dz.

Якобиан — тот же $r$ , что у полярных координат. Когда использовать: тела вращения вокруг оси $Oz$ (цилиндры, конусы, параболоиды) и функции от $x^2 + y^2$ .

Поверхность	Уравнение
цилиндр $x^2 + y^2 = R^2$	$r = R$
конус $z = \sqrt{x^2 + y^2}$	$z = r$
параболоид $z = x^2 + y^2$	$z = r^2$
сфера $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$	$z = \pm\sqrt{R^2 - r^2}$

Пример. Объём конуса высоты $h$ и радиуса $R$ : $0 \le \varphi \le 2\pi$ , $0 \le r \le R$ , $\frac{h}{R}r \le z \le h$ :

V = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^R r\left(h - \frac hRr\right)dr = 2\pi h\left(\frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{3}\right) = \frac13\pi R^2h.

Сферические координаты

Точка задаётся расстоянием $\rho$ до начала координат, углом $\theta$ от положительной оси $Oz$ ( $0 \le \theta \le \pi$ ) и азимутом $\varphi$ ( $0 \le \varphi < 2\pi$ ):

x = \rho\sin\theta\cos\varphi, \quad y = \rho\sin\theta\sin\varphi, \quad z = \rho\cos\theta, \qquad dV = \rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.

Якобиан $\rho^2\sin\theta$ : элемент объёма — «кирпичик» со сторонами $d\rho$ , $\rho\,d\theta$ (дуга меридиана) и $\rho\sin\theta\,d\varphi$ (дуга параллели, радиус которой $\rho\sin\theta$ ).

(В географии вместо $\theta$ используют широту $\frac\pi2 - \theta$ ; тогда якобиан $\rho^2\cos(\text{широты})$ .)

Когда использовать: шар, его части (полушарие, сектор), конусы с вершиной в начале координат, функции от $x^2 + y^2 + z^2$ .

Пример. Объём шара:

V = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\int_0^R\rho^2d\rho = 2\pi\cdot2\cdot\frac{R^3}{3} = \frac43\pi R^3.

Объём тонкого сферического слоя $4\pi\rho^2d\rho$ — площадь сферы, умноженная на толщину. Это удобно для сферически симметричных функций:

\iiint_{\rho \le R}f(\rho)\,dV = 4\pi\int_0^R f(\rho)\rho^2\,d\rho.

import sympy as sp

rho, theta, phi, r, z = sp.symbols("rho theta phi r z", positive=True)
R, h = sp.symbols("R h", positive=True)
J = sp.Matrix([rho * sp.sin(theta) * sp.cos(phi), rho * sp.sin(theta) * sp.sin(phi), rho * sp.cos(theta)]).jacobian([rho, theta, phi])
print("якобиан сферических координат:", sp.simplify(J.det()))
print("объём шара:", sp.integrate(rho**2 * sp.sin(theta), (rho, 0, R), (theta, 0, sp.pi), (phi, 0, 2 * sp.pi)))
print("объём конуса:", sp.integrate(r, (z, h * r / R, h), (r, 0, R), (phi, 0, 2 * sp.pi)))
print("«мороженое»:", sp.simplify(sp.integrate(rho**2 * sp.sin(theta), (rho, 0, 1), (theta, 0, sp.pi / 4), (phi, 0, 2 * sp.pi))))

Пример: гравитация шара

Масса шара с плотностью, зависящей от расстояния до центра: $m = 4\pi\int_0^R\mu(\rho)\rho^2d\rho$ . Например, если плотность Земли растёт к центру как $\mu = \mu_0(1 - 0{,}6\frac{\rho}{R})$ , то

m = 4\pi\mu_0\int_0^R\left(\rho^2 - 0{,}6\frac{\rho^3}{R}\right)d\rho = 4\pi\mu_0R^3\left(\frac13 - 0{,}15\right) = 0{,}55\cdot\frac43\pi R^3\mu_0.

Итог

Цилиндрические: $dV = r\,dr\,d\varphi\,dz$ — для тел вращения вокруг оси и функций от $x^2 + y^2$ .
Сферические: $dV = \rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi$ — для шаров, конусов с вершиной в начале и функций от $x^2 + y^2 + z^2$ .
Сферически симметричная функция: $\iiint f(\rho)\,dV = 4\pi\int f(\rho)\rho^2d\rho$ .

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Якобиан сферических координат $x = \rho\sin\theta\cos\varphi$ , $y = \rho\sin\theta\sin\varphi$ , $z = \rho\cos\theta$ равен $\rho^2\sin\theta$ . Найдите объём шара радиуса 3.

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).