Интегралы: полный курс / Несобственные интегралы / урок 41 из 64

Практикум: несобственные интегралы

⏱ 50 мин · 🧩 заданий: 15

Указания

1–5: первый род
  • 1. \frac12\operatorname{arctg}\frac x2\Big|_0^\infty.
  • 3. \Gamma(3) = 2!.
  • 4. (x + 1)^2 + 4: \frac12\operatorname{arctg}\frac{x + 1}{2}\Big|_{-\infty}^\infty.
  • 5. Циклический интеграл: первообразная \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2}.
6–12: второй род, смешанные, Γ и B
  • 7. По частям: 2\sqrt x\ln x\Big|_0^1 - \int_0^1\frac{2}{\sqrt x}dx.
  • 9. t = \ln x: \int_0^{\ln2}\frac{dt}{\sqrt t}.
  • 10. x = t^2: \int_0^\infty\frac{2\,dt}{1 + t^2}.
  • 12. \frac12\int_0^1t^{1/2}(1 - t)^{1/2}dt = \frac12B\left(\frac32,\frac32\right) = \frac12\cdot\frac{\pi}{8}.
13–15: сходимость
  • 13. \frac{\ln x}{x^2} \le \frac{C}{x^{1,5}}; \frac{\ln x}{x} \ge \frac1x; около нуля \frac{1}{\sqrt x}; \frac{x}{e^x - 1} \to 1 у нуля и убывает экспоненциально; \sin\frac1x \sim \frac1x; 1 - \cos\frac1x \sim \frac{1}{2x^2}.
  • 14. Абсолютно — сравнение |\cos x| \le 1; условно — признак Дирихле; \sqrt x\cos x — «горбы» растут.
import sympy as sp

x = sp.symbols("x", positive=True)
for f, a, b in [(x**5 * sp.exp(-x**2), 0, sp.oo), (1 / ((1 + x) * sp.sqrt(x)), 0, sp.oo), (sp.log(x) / sp.sqrt(x), 0, 1), (x / (sp.exp(x) - 1), 0, sp.oo)]:
    print(f"∫_{a}^{b} {str(f):22} dx = {sp.integrate(f, (x, a, b))}")

Последний интеграл, \int_0^\infty\frac{x\,dx}{e^x - 1} = \frac{\pi^2}{6} = \Gamma(2)\zeta(2), встречается в законе излучения Планка.

Практика решено 0 из 15

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 4}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 2 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x}}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 3 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^\infty x^2 e^{-x}\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 4 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 5 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\cos x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 6 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^{1} \frac{dx}{\sqrt[4]{x}}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 7 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 8 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 9 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_1^{2} \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 10 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{dx}{(1 + x)\sqrt{x}} (обе особенности сразу)
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 11 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^{\infty} x^5 e^{-x^2}\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 12 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^{1} x^2\sqrt{1 - x^2}\,dx (замена t = x^2 и бета-функция)
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 13 Заполнить таблицу
  1. Сходимость.
сходитсярасходится
\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^2}\,dx
\int_1^\infty \frac{\ln x}{x}\,dx
\int_0^1 \frac{dx}{x^2 + \sqrt{x}}
\int_0^\infty \frac{x\,dx}{e^x - 1}
\int_1^\infty \sin\frac{1}{x}\,dx
\int_1^\infty \left(1 - \cos\frac1x\right)dx
Отметьте ячейку — «+», пустая — «−».
Задание 14 Заполнить таблицу
  1. Тип сходимости.
абсолютноусловнорасходится
\int_1^\infty \frac{\cos x}{x^2}\,dx
\int_1^\infty \frac{\cos x}{\sqrt{x}}\,dx
\int_1^\infty \sqrt{x}\cos x\,dx
\int_1^\infty \frac{\sin x}{x\ln(x + 1)}\,dx
Отметьте ячейку — «+», пустая — «−».
Задание 15 Ввод формулы
  1. Найдите граничное p_0: \displaystyle\int_0^\infty \frac{x^{p - 1}}{1 + x}\,dx сходится при 0 < p < p_0.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.