Интегралы: полный курс / Несобственные интегралы / урок 37 из 64

Интегралы с бесконечными пределами

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 11

Определение

Интеграл Римана определён для ограниченной функции на отрезке. Но часто нужен интеграл по бесконечному промежутку: площадь «хвоста» под $e^{-x}$ , работа по удалению ракеты на бесконечность, вероятности.

Определение. Пусть $f$ интегрируема на каждом отрезке $[a; b]$ . Несобственным интегралом первого рода называется

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx.

Если предел существует и конечен, интеграл сходится, иначе — расходится. Аналогично $\int_{-\infty}^b = \lim_{a\to-\infty}\int_a^b$ , а

\int_{-\infty}^{+\infty}f\,dx = \int_{-\infty}^{c}f\,dx + \int_c^{+\infty}f\,dx

— сходится, если сходятся оба слагаемых (результат не зависит от $c$ ).

Формула Ньютона–Лейбница

Если $F$ — первообразная, то $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$ , и

\int_a^{+\infty}f(x)\,dx = F(+\infty) - F(a), \qquad F(+\infty) = \lim_{x\to+\infty}F(x).

\int_0^\infty e^{-x}dx = -e^{-x}\Big|_0^\infty = 0 + 1 = 1, \qquad \int_1^\infty\frac{dx}{x^2} = -\frac1x\Big|_1^\infty = 1, \qquad \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1 + x^2} = \operatorname{arctg}x\Big|_{-\infty}^{\infty} = \pi.

Замена переменной и интегрирование по частям работают так же, с пределами на бесконечности.

Эталон: $\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$

\int_1^\infty\frac{dx}{x^p} = \lim_{b\to\infty}\frac{b^{1-p} - 1}{1 - p} = \begin{cases}\dfrac{1}{p - 1}, & p > 1, \\ \infty, & p < 1,\end{cases} \qquad \int_1^\infty\frac{dx}{x} = \lim\ln b = \infty.

Сходится при $p > 1$ , расходится при $p \le 1$ . Это главный эталон для сравнения в следующих уроках. Удивительно: $\frac1x$ и $\frac{1}{x^{1,01}}$ на графике почти неотличимы, но площадь под первой бесконечна, а под второй равна $100$ .

import numpy as np
import vis

bs = np.geomspace(1, 1e6, 200)
vis.line(np.log10(bs), {
    "∫₁ᵇ dx/x = ln b": np.log(bs),
    "∫₁ᵇ dx/x^1.5": (1 - bs**-0.5) / 0.5,
    "∫₁ᵇ dx/x²": 1 - 1 / bs,
}, title="Интегралы по [1; b] при растущем b: один растёт без предела, два сходятся", xlabel="lg b")

Геометрический смысл

Сходящийся интеграл от положительной функции — конечная площадь неограниченной фигуры. Под гиперболой $y = \frac{1}{x^2}$ справа от $x = 1$ бесконечно длинная фигура площади $1$ .

import sympy as sp

x = sp.symbols("x", positive=True)
for f, a in [(sp.exp(-x), 0), (1 / x**2, 1), (1 / x, 1), (x * sp.exp(-x), 0), (sp.exp(-x) * sp.sin(x), 0), (sp.sin(x), 0)]:
    print(f"∫_{a}^∞ {str(f):16} dx = {sp.integrate(f, (x, a, sp.oo))}")

Обратите внимание на ответ для $\sin x$ : SymPy сообщает, что предела нет (AccumBounds — значения колеблются в отрезке).

Свойства

Линейность: если сходятся $\int f$ и $\int g$ , сходится и $\int(\alpha f + \beta g)$ .
Сходимость не зависит от поведения функции на конечном отрезке: $\int_1^\infty$ и $\int_{100}^\infty$ сходятся или расходятся одновременно. Важен только «хвост».
Необходимое условие не такое, как у рядов: даже если $\int_a^\infty f\,dx$ сходится, $f(x)$ не обязана стремиться к нулю (бывают функции с всё более узкими «пиками»).

Итог

$\int_a^\infty f\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$ ; если предел конечен — интеграл сходится.
Формула Ньютона–Лейбница: $F(+\infty) - F(a)$ .
$\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$ сходится только при $p > 1$ .
Интеграл по всей прямой сходится, только если сходятся оба «хвоста».

Практика решено 0 из 11

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^3}

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).