Физические приложения

Общая схема

Почти все приложения интеграла устроены одинаково:

1. Разбить объект на малые части (отрезки времени, тонкие слои, короткие кусочки).
2. На малой части считать величину постоянной и записать её вклад: dQ = q(x)\,dx.
3. Сложить вклады — проинтегрировать: Q = \int_a^b q(x)\,dx.

Главная работа — правильно записать dQ.

Путь, работа, энергия

Путь. ds = v(t)\,dt, поэтому перемещение = \int v\,dt, путь = \int|v|\,dt.

Работа переменной силы вдоль прямой: dA = F(x)\,dx, A = \int_a^b F(x)\,dx.

• Пружина (закон Гука F = kx): A = \frac{kx^2}{2} — потенциальная энергия пружины.
• Гравитация F = \frac{GMm}{r^2}: работа против неё при удалении от R_1 до R_2 равна GMm\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right).

Откачка жидкости. Разбиваем жидкость на горизонтальные слои. Слой на глубине h толщины dh с площадью сечения S(h) весит \rho g S(h)\,dh и поднимается на высоту h:

Давление жидкости

Давление на глубине h равно \rho g h и одинаково во все стороны. Для вертикальной пластины ширины w(h) на глубине h сила, действующая на полоску dh, равна \rho g h\,w(h)\,dh:

Пример. Плотина — прямоугольник шириной 100 м и высотой 20 м. Сила давления \rho g\int_0^{20}100h\,dh = 20\,000\rho g \approx 1{,}96\cdot10^8 Н — около 20 000 тонн. Поэтому плотины утолщаются книзу.

Масса и центр масс

Стержень с линейной плотностью \rho(x): масса m = \int_a^b\rho\,dx, центр масс \bar x = \frac{1}{m}\int_a^b x\rho(x)\,dx.

Плоская однородная фигура между y = g(x) и y = f(x) (g \le f) с площадью S. Вертикальная полоска имеет площадь (f - g)\,dx и центр в точке \left(x, \frac{f + g}{2}\right):

Интегралы в числителях — статические моменты относительно осей Oy и Ox.

Пример. Полукруг y = \sqrt{R^2 - x^2}: \bar x = 0 (симметрия), \bar y = \frac{1}{\pi R^2}\int_{-R}^R(R^2 - x^2)\,dx = \frac{4R}{3\pi}. Проверка по Паппу–Гульдину: вращая полукруг вокруг Ox, получим шар: 2\pi\cdot\frac{4R}{3\pi}\cdot\frac{\pi R^2}{2} = \frac43\pi R^3 ✓.

import sympy as sp

x, R = sp.symbols("x R", positive=True)
# Центр масс полукруга
S = sp.pi * R**2 / 2
y_bar = sp.integrate((R**2 - x**2) / 2, (x, -R, R)) / S
print("ȳ полукруга =", sp.simplify(y_bar))
# Центр масс фигуры под y = x² на [0, 1]
f = x**2
S2 = sp.integrate(f, (x, 0, 1))
print("x̄ =", sp.integrate(x * f, (x, 0, 1)) / S2, "  ȳ =", sp.integrate(f**2 / 2, (x, 0, 1)) / S2)
# Сила давления на плотину 100 × 20 м
rho, g = 1000, 9.81
print(f"плотина: P = {float(rho * g * sp.integrate(100 * x, (x, 0, 20))):.3e} Н")

Моменты инерции

Момент инерции точки массы m относительно оси — mr^2. Для тела: I = \int r^2\,dm.

• Стержень массы M, длины L, относительно конца: I = \frac{ML^2}{3}; относительно центра: \frac{ML^2}{12}.
• Диск относительно оси: разбиваем на кольца dm = \frac{M}{\pi R^2}2\pi r\,dr: I = \frac{2M}{R^2}\int_0^R r^3dr = \frac{MR^2}{2}.

Поэтому сплошной цилиндр скатывается с горки быстрее обруча (у обруча I = MR^2).

Итог

• Схема: малая часть → dQ = q(x)\,dx → Q = \int q\,dx.
• Работа \int F\,dx; откачка \rho g\int hS(h)\,dh; давление \rho g\int h\,w(h)\,dh.
• Масса \int\rho\,dx, центр масс — отношение статического момента к массе; момент инерции \int r^2dm.