Интегралы: полный курс / Подготовка к экзамену / урок 64 из 64

Пробный экзамен

⏱ 150 мин · 🧩 заданий: 20

Правила

  • Время: 2,5 часа. Засеките время и не подсматривайте в предыдущие уроки.
  • Можно: чистый лист, ручка. Нельзя: Python и SymPy — их оставьте для разбора.
  • Каждая задача стоит 5 баллов, всего 100. Матрица (задача 10) — по 1,25 балла за строку.
  • Решайте сначала то, что получается быстро. Не застревайте на одной задаче дольше 15 минут.
Баллы Оценка
85–100 отлично
70–84 хорошо
50–69 удовлетворительно
< 50 стоит повторить слабые темы

Примерное распределение времени: задачи 1–5 — 30 минут, 6–10 — 25 минут, 11–13 — 25 минут, 14–18 — 50 минут, 19–20 и проверка — 20 минут.

Разбор

Откройте решения только после того, как сдадите все ответы.

1–5: неопределённые интегралы
  • 1. Табличные: x^3 - 2\ln|x| + e^x + C.
  • 2. x\,dx = \frac12d(x^2 + 4): \frac12\ln(x^2 + 4) + C (модуль не нужен: x^2 + 4 > 0).
  • 3. По частям, u = \ln x, dv = x\,dx: \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x}{2}dx.
  • 4. x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4: \frac12\operatorname{arctg}\frac{x + 1}{2} + C.
  • 5. Понижение степени: \int\frac{1 + \cos2x}{2}dx.
6–10: определённые и несобственные интегралы
  • 6. (x - 1)e^x\big|_0^1 = 0 - (-1) = 1.
  • 7. \int_0^\pi\frac{1 - \cos2x}{2}dx = \frac\pi2.
  • 8. Барроу и цепное правило: \sin(x^2)\cdot2x.
  • 9. -\frac{1}{2x^2}\Big|_1^\infty = \frac12.
  • 10. (а) \le\frac{1}{x^2} — сходится; (б) при x\to0 \frac{1}{x^2 + x}\sim\frac1x — расходится; (в) \le\frac{1}{x^2} — сходится; (г) \sin x\sim x, \frac{1}{\sin x}\sim\frac1x — расходится.
11–13: приложения
  • 11. Окружность радиуса 1 (центр (1, 0)), \varphi\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]: \frac12\int4\cos^2\varphi\,d\varphi = \pi.
  • 12. \pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx = \pi\cdot\frac\pi2.
  • 13. x'^2 + y'^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\frac t2; \int_0^{2\pi}2\sin\frac t2\,dt = 8.
14–18: кратные и векторный анализ
  • 14. \int_0^1x\cdot\frac{x^4}{2}dx = \frac{1}{12}.
  • 15. Цилиндрические: \int_0^{2\pi}\!\int_0^2(4 - r^2)\,r\,dr\,d\varphi = 2\pi(8 - 4).
  • 16. ds = \sqrt{1 + 4x^2}\,dx; \int_0^1x\sqrt{1 + 4x^2}\,dx = \frac{1}{12}(1 + 4x^2)^{3/2}\Big|_0^1.
  • 17. Грин: Q_x - P_y = y, \iint y = \frac12.
  • 18. \operatorname{div}\vec F = 1 + 2 + 3 = 6, объём 8.
19–20: теория
  • 19. Подведение под дифференциал работает, только когда рядом стоит производная внутренней функции.
  • 20. См. пояснение к задаче: контрпримеры \sin x на [0; 2\pi] и функция, отличная от нуля в одной точке.

Проверка на компьютере

После экзамена проверьте спорные ответы:

import sympy as sp

x, t, r, phi = sp.symbols("x t r phi", real=True)
print("3:", sp.integrate(x * sp.log(x), x))
print("4:", sp.integrate(1 / (x**2 + 2*x + 5), x))
print("8:", sp.diff(sp.integrate(sp.sin(t), (t, 0, x**2)), x))
print("13:", sp.integrate(2 * sp.sin(t / 2), (t, 0, 2 * sp.pi)))
print("15:", sp.integrate((4 - r**2) * r, (r, 0, 2), (phi, 0, 2 * sp.pi)))
print("16:", sp.simplify(sp.integrate(x * sp.sqrt(1 + 4*x**2), (x, 0, 1))))

Что делать после пробного экзамена

Выпишите задачи, в которых ошиблись, и вернитесь к соответствующим урокам:

Задачи Модуль
1–5, 19 Неопределённый интеграл (особенно «Как выбрать метод» и практикумы)
6–8, 20 Определённый интеграл
9–10 Несобственные интегралы
11–13 Приложения определённого интеграла
14–15 Кратные интегралы
16–18 Криволинейные и поверхностные интегралы

Удачи на экзамене!

Практика решено 0 из 20

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int\left(3x^2 - \frac2x + e^x\right)dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 2 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^2 + 4}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 3 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int x\ln x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 4 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 5 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int\cos^2 x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 6 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 7 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_0^\pi \sin^2 x\,dx
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 8 Ввод формулы
  1. Найдите \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 9 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^3}
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 10 Заполнить таблицу
  1. Исследуйте на сходимость.
сходитсярасходится
\int_1^\infty \frac{dx}{x^2 + \sqrt{x}}
\int_0^1 \frac{dx}{x^2 + x}
\int_1^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx
\int_0^1 \frac{dx}{\sin x}
Отметьте ячейку — «+», пустая — «−».
Задание 11 Ввод формулы
  1. Площадь фигуры, ограниченной кривой \rho = 2\cos\varphi.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 12 Ввод формулы
  1. Объём тела, полученного вращением вокруг Ox фигуры под одной аркой y = \sin x, 0 \le x \le \pi.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 13 Ввод формулы
  1. Длина одной арки циклоиды x = t - \sin t, y = 1 - \cos t, 0 \le t \le 2\pi.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 14 Ввод формулы
  1. \displaystyle\iint_D xy\,dx\,dy, D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^2.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 15 Ввод формулы
  1. Объём тела, ограниченного параболоидом z = 4 - x^2 - y^2 и плоскостью z = 0.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 16 Ввод формулы
  1. \displaystyle\int_L x\,ds, L — дуга параболы y = x^2, 0 \le x \le 1.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 17 Ввод формулы
  1. \displaystyle\oint_L x^2\,dx + xy\,dy, L — граница квадрата [0;\,1]^2 против часовой стрелки.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 18 Ввод формулы
  1. Поток \vec F = (x, 2y, 3z) через поверхность куба [0;\,2]^3 наружу.
Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 19 Один вариант ответа
  1. Какой из интегралов не выражается в элементарных функциях?
Задание 20 Один вариант ответа
  1. Функция f интегрируема на [a;\,b] и \int_a^b f(x)\,dx = 0. Что из этого следует?

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.