Типовые задачи с разбором

Как пользоваться уроком

Для каждого типа задач — короткий алгоритм и образец решения в том виде, в каком его стоит записывать на экзамене. Задачи для самопроверки идут в том же порядке, что и разделы. Решайте на бумаге, затем вводите ответ.

1. Интегрирование по частям

Когда: многочлен × (e^{ax}, \sin, \cos) — дифференцируем многочлен; многочлен × (\ln, \operatorname{arctg}, \arcsin) — дифференцируем логарифм.

Образец. \int x^2\sin x\,dx. Положим u = x^2, dv = \sin x\,dx, тогда du = 2x\,dx, v = -\cos x:

Проверка: (\dots)' = 2x\cdot(-\cos x) + x^2\sin x + 2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x = x^2\sin x. ✓

2. Рациональная дробь

Алгоритм: выделить целую часть → разложить знаменатель → записать разложение на простейшие → найти коэффициенты (подстановкой корней или сравнением коэффициентов) → проинтегрировать.

Образец. \int\frac{2x^2 + 3}{x(x^2 + 1)}dx. Разложение \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}: 2x^2 + 3 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x. При x = 0: A = 3; при x^2: A + B = 2 \Rightarrow B = -1; при x: C = 0.

3. Тригонометрия

Алгоритм: нечётная степень \sin — отделить один \sin, замена t = \cos x (и наоборот); обе степени чётные — понижение степени; произведения \sin ax\cos bx — в сумму; рационально от \sin x, \cos x — подстановка t = \operatorname{tg}\frac x2 (или t = \operatorname{tg}x, если функция чётна по паре \sin, \cos).

Образец. \int\cos^3x\,dx = \int(1 - \sin^2x)\,d(\sin x) = \sin x - \frac{\sin^3x}{3} + C.

4. Иррациональности

Алгоритм: \sqrt[n]{ax + b} — замена t = \sqrt[n]{ax + b}; \sqrt{a^2 - x^2} — x = a\sin t; \sqrt{x^2 + a^2} — x = a\operatorname{tg}t (или a\operatorname{sh}t); квадратный трёхчлен под корнем — выделить полный квадрат.

Образец. \int\frac{dx}{\sqrt x + \sqrt[3]x}: общий знаменатель показателей 6, x = t^6, dx = 6t^5dt:

5–6. Определённый интеграл

Образец (замена с пределами). \int_0^3\frac{x\,dx}{\sqrt{x + 1}}: t = \sqrt{x + 1}, x = t^2 - 1, dx = 2t\,dt; x = 0 \to t = 1, x = 3 \to t = 2:

Обратную замену делать не нужно — пределы уже пересчитаны.

7–9. Геометрические приложения

Алгоритм: нарисовать фигуру → найти точки пересечения → выбрать формулу и переменную интегрирования.

Образец (площадь). Фигура между y = x и y = x^2: пересечения x = 0 и x = 1, на [0; 1] прямая выше: S = \int_0^1(x - x^2)\,dx = \frac16.

Образец (объём вращения). Та же фигура вокруг Ox: «шайбы» с внешним радиусом x и внутренним x^2: V = \pi\int_0^1(x^2 - x^4)\,dx = \frac{2\pi}{15}.

10–11. Несобственные интегралы

Образец (вычисление). \int_1^\infty\frac{dx}{x(x + 1)} = \lim_{b\to\infty}\ln\frac{x}{x + 1}\Big|_1^b = 0 - \ln\frac12 = \ln2.

Образец (исследование сходимости). \int_1^\infty\frac{\sqrt x\,dx}{x^2 + 1}: при x\to\infty \frac{\sqrt x}{x^2 + 1}\sim\frac{1}{x^{3/2}}, \frac32 > 1 — сходится по предельному признаку. Обязательно указывайте, с чем сравниваете и почему эталон сходится.

12–14. Кратные интегралы

Смена порядка. Нарисуйте область по старым пределам, затем опишите её «в другом направлении». Для \int_0^1dx\int_x^1e^{y^2}dy: область 0 \le x \le y \le 1, то есть 0 \le y \le 1, 0 \le x \le y:

Полярные/сферические. Не забывайте якобиан: r и \rho^2\sin\theta.

15–16. Векторный анализ

Грин: \oint P\,dx + Q\,dy = \iint(Q_x - P_y)\,dx\,dy. Для задачи 15: Q_x - P_y = -1 - 1 = -2.

Гаусс–Остроградский: поток через замкнутую поверхность = \iiint\operatorname{div}\vec F\,dV. Для задачи 16: \operatorname{div}\vec F = 2 - 1 + 1 = 2.

Проверка на SymPy

import sympy as sp

x, y, r, phi = sp.symbols("x y r phi", real=True)
examples = {
    "∫ x² sin x dx": sp.integrate(x**2 * sp.sin(x), x),
    "∫ (2x² + 3)/(x(x² + 1)) dx": sp.integrate((2*x**2 + 3) / (x * (x**2 + 1)), x),
    "∫₀³ x/√(x + 1) dx": sp.integrate(x / sp.sqrt(x + 1), (x, 0, 3)),
    "V = π∫₀¹ (x² − x⁴) dx": sp.pi * sp.integrate(x**2 - x**4, (x, 0, 1)),
    "∫₁^∞ dx/(x(x + 1))": sp.integrate(1 / (x * (x + 1)), (x, 1, sp.oo)),
    "∫₀¹ dy ∫₀^y e^(y²) dx": sp.integrate(sp.exp(y**2), (x, 0, y), (y, 0, 1)),
}
for name, value in examples.items():
    print(f"{name:30} = {sp.simplify(value)}")

Итог

• Неопределённый интеграл: определите тип (по частям, дробь, тригонометрия, иррациональность) и проверьте ответ дифференцированием.
• Определённый интеграл: при замене пересчитывайте пределы; для приложений сначала рисунок.
• Несобственный: вычисляйте через предел или сравнивайте с эталоном \frac{1}{x^p} — и пишите, с чем сравнили.
• Кратные и векторные: рисунок области, удобные координаты с якобианом, формулы Грина и Гаусса–Остроградского, где они упрощают дело.