Неберущиеся интегралы

⏱ 30 мин · 🧩 заданий: 6

Не всё берётся

До сих пор каждый интеграл удавалось вычислить. Но производная элементарной функции всегда элементарна, а вот обратное неверно. Вот классические примеры функций, первообразные которых не выражаются через элементарные:

\int e^{-x^2}dx, \quad \int\frac{\sin x}{x}dx, \quad \int\frac{\cos x}{x}dx, \quad \int\frac{e^x}{x}dx, \quad \int\frac{dx}{\ln x}, \quad \int\sin(x^2)\,dx, \quad \int\sqrt{1 - k^2\sin^2 x}\,dx.

Это не значит, что первообразной нет: у любой непрерывной функции она есть. Это значит, что её нельзя записать конечной формулой из многочленов, корней, $e^x$ , $\ln x$ , тригонометрических и обратных к ним функций.

Строгое доказательство даёт теорема Лиувилля (1830-е): если у элементарной функции есть элементарная первообразная, то она имеет весьма специальный вид, и для перечисленных функций такой вид невозможен. Например, $\int f(x)e^{g(x)}dx$ (с рациональными $f, g$ ) элементарен только если существует рациональная $R$ с $R' + g'R = f$ . Для $e^{-x^2}$ ( $f = 1$ , $g = -x^2$ ) нужно $R' - 2xR = 1$ — у этого уравнения нет рациональных решений.

Новые функции

Важные неберущиеся интегралы получили имена, и с ними обращаются как с обычными функциями: для них есть таблицы, ряды, графики и функции в библиотеках.

Функция	Определение	Где встречается
Интеграл ошибок	$\operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt$	нормальное распределение, теплопроводность
Интегральный синус	$\operatorname{Si} x = \int_0^x\frac{\sin t}{t}dt$	обработка сигналов, оптика
Интегральный логарифм	$\operatorname{li} x = \int_0^x\frac{dt}{\ln t}$	распределение простых чисел: $\pi(x) \approx \operatorname{li} x$
Интегралы Френеля	$S(x) = \int_0^x\sin\frac{\pi t^2}{2}dt$ , $C(x)$	дифракция, проектирование дорог (клотоида)
Эллиптический интеграл	$E(k) = \int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}\,d\varphi$	длина эллипса, период маятника

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
for f in [sp.exp(-x**2), sp.sin(x) / x, 1 / sp.log(x), sp.exp(x) / x, sp.sin(x**2)]:
    print(f"∫ {str(f):10} dx = {sp.integrate(f, x)}")

SymPy отвечает через специальные функции erf, Si, li, Ei, fresnels — это и есть «неберущиеся» первообразные под собственными именами.

Графики специальных функций

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(0.001, 15, 1500)
f = np.sin(x) / x
dx = x[1] - x[0]
Si = np.concatenate([[0], np.cumsum((f[1:] + f[:-1]) / 2 * dx)])   # накопленная площадь методом трапеций
vis.line(x, {"sin x / x": f, "Si(x) = ∫₀ˣ sin t / t dt": Si, "π/2": np.full_like(x, np.pi / 2)},
         title="Интегральный синус стремится к π/2", xlabel="x")

Мы построили $\operatorname{Si}(x)$ численно, накапливая площадь под графиком. Так поступают с любым неберущимся интегралом: формулы нет, но значения вычисляются с любой точностью — методами из модуля о численном интегрировании или с помощью рядов.

Ряды

Если функцию можно разложить в степенной ряд, его можно интегрировать почленно:

\int_0^x e^{-t^2}dt = \int_0^x\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k t^{2k}}{k!}dt = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{k!\,(2k+1)} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \dots

Определённый интеграл может «взяться»

Удивительно, но некоторые определённые интегралы от неберущихся функций вычисляются точно:

\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt\pi, \qquad \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx = \frac\pi2.

Первый мы получим с помощью двойного интеграла и полярных координат, второй — дифференцированием по параметру. Оба — в следующих модулях.

Итог

У непрерывной функции первообразная всегда есть, но может не быть элементарной.
Классические неберущиеся: $e^{-x^2}$ , $\frac{\sin x}{x}$ , $\frac{1}{\ln x}$ , $\frac{e^x}{x}$ , $\sin x^2$ , $\sqrt{1 - k^2\sin^2 x}$ , $\sqrt{1 + x^3}$ .
Их первообразные — специальные функции: erf, Si, li, Ei, интегралы Френеля, эллиптические; их считают численно или рядами.

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.

	берётся	не берётся
$\int x e^{-x^2}dx$
$\int e^{-x^2}dx$
$\int \frac{\sin x}{x}dx$
$\int x\sin x\,dx$
$\int \frac{dx}{\ln x}$
$\int \frac{\ln x}{x}dx$
$\int \sin(x^2)\,dx$
$\int \sqrt{1 + x^3}\,dx$