Интегралы: полный курс / Кратные интегралы / урок 52 из 64

Приложения кратных интегралов

⏱ 40 мин · 🧩 заданий: 10

Масса и центр масс

Пластина D с поверхностной плотностью \rho(x, y):

m = \iint_D\rho\,dS, \qquad \bar x = \frac{1}{m}\iint_D x\rho\,dS, \qquad \bar y = \frac1m\iint_D y\rho\,dS.

Тело V с плотностью \mu(x, y, z) — то же с тройными интегралами: \bar z = \frac1m\iiint_V z\mu\,dV и т. д.

Для однородных тел центр масс — центроид; симметрия сразу даёт часть координат. Полезные ответы:

Тело Центр масс
треугольник точка пересечения медиан: среднее вершин
полукруг радиуса R \bar y = \frac{4R}{3\pi}
полушарие \bar z = \frac38R
конус высоты h на \frac h4 от основания

Моменты инерции

I_{Oz} = \iiint_V(x^2 + y^2)\,\mu\,dV, \qquad I_O = \iiint_V(x^2 + y^2 + z^2)\,\mu\,dV.

Для однородного шара в сферических координатах:

I_O = \frac{3M}{4\pi R^3}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\!\!\int_0^R\rho^4\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi = \frac35MR^2, \qquad I_{Oz} = \frac23I_O = \frac25MR^2

(по симметрии I_x + I_y + I_z = 2I_O и все три равны).

Теорема Штейнера: момент относительно оси, параллельной оси через центр масс и удалённой от неё на d: I = I_c + Md^2.

import sympy as sp

rho, th, ph, r, z = sp.symbols("rho theta phi r z", positive=True)
M, R, h = sp.symbols("M R h", positive=True)
mu = M / (sp.Rational(4, 3) * sp.pi * R**3)
I_z = sp.integrate(mu * (rho * sp.sin(th))**2 * rho**2 * sp.sin(th), (rho, 0, R), (th, 0, sp.pi), (ph, 0, 2 * sp.pi))
print("шар, I_z =", sp.simplify(I_z))
# центр масс конуса r ≤ z ≤ h (r — расстояние до оси, полуугол 45°)
V = sp.integrate(r, (z, r, h), (r, 0, h), (ph, 0, 2 * sp.pi))
Mz = sp.integrate(z * r, (z, r, h), (r, 0, h), (ph, 0, 2 * sp.pi))
print("конус: z̄ =", sp.simplify(Mz / V))
# полушарие
Vh = sp.Rational(2, 3) * sp.pi * R**3
Mh = sp.integrate(rho * sp.cos(th) * rho**2 * sp.sin(th), (rho, 0, R), (th, 0, sp.pi / 2), (ph, 0, 2 * sp.pi))
print("полушарие: z̄ =", sp.simplify(Mh / Vh))

Площадь поверхности

Поверхность z = f(x, y) над областью D. Маленькая площадка dx\,dy поднимается на касательную плоскость, наклон которой растягивает площадь в \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} раз:

S = \iint_D\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dx\,dy.

Пример. Сфера: верхняя полусфера z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}}:

S = 2\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^R\frac{Rr\,dr}{\sqrt{R^2 - r^2}} = 4\pi R\cdot R = 4\pi R^2.

Это частный случай поверхностного интеграла первого рода — им посвящён следующий модуль.

Вероятности

Для пары случайных величин с совместной плотностью p(x, y):

P\big((X, Y) \in D\big) = \iint_D p(x, y)\,dx\,dy.

Для независимых величин p(x, y) = p_X(x)p_Y(y). Задачи вроде «какова вероятность, что два человека, приходящие случайно в течение часа, встретятся, если каждый ждёт 15 минут» — это площади на квадрате.

import numpy as np
import vis

# Задача о встрече: |X − Y| ≤ 1/4, X, Y ~ U[0, 1]
x = np.linspace(0, 1, 400)
vis.area(x, {"y = x − 1/4": np.clip(x - 0.25, 0, 1), "y = x + 1/4": np.clip(x + 0.25, 0, 1)},
         between=("y = x − 1/4", "y = x + 1/4"), title="Встреча: закрашенная полоса |x − y| ≤ 1/4", equal=True)
print("P(встреча) = 1 − (3/4)² =", 1 - 0.75**2)
rng = np.random.default_rng(0)
X, Y = rng.random(10**6), rng.random(10**6)
print("моделирование:", np.mean(np.abs(X - Y) <= 0.25))

Итог

  • Масса \iint\rho\,dS, центр масс — отношение статических моментов к массе, моменты инерции \iiint r^2\,dm.
  • Площадь поверхности z = f(x, y): \iint\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dx\,dy.
  • Вероятность попадания пары величин в область — двойной интеграл совместной плотности.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1 Ввод формулы

Центр масс однородного треугольника с вершинами (0, 0), (1, 0), (0, 1): найдите \bar x.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 2 Ввод формулы

Масса пластины — четверти круга x^2 + y^2 \le 1, x, y \ge 0, с плотностью \rho = xy.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 3 Ввод формулы

\bar z центра масс однородного полушария x^2 + y^2 + z^2 \le R^2, z \ge 0 при R = 1.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 4 Ввод формулы

\bar z центра масс однородного конуса \sqrt{x^2 + y^2} \le z \le 1 (вершина в начале координат, основание сверху).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 5 Ввод формулы

Момент инерции однородного диска радиуса 1 и массы 1 относительно оси, перпендикулярной диску и проходящей через центр: I = \iint r^2\,dm.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 6 Ввод формулы

Момент инерции однородного шара массы M = 1 и радиуса R = 1 относительно оси Oz: I = \iiint (x^2 + y^2)\,\frac{M}{V}\,dV.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 7 Ввод формулы

Площадь части параболоида z = x^2 + y^2, лежащей под плоскостью z = 2: S = \iint\sqrt{1 + 4r^2}\,r\,dr\,d\varphi по кругу r \le \sqrt2.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 8 Ввод формулы

Площадь части плоскости z = 2x + 2y над единичным кругом.

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 9 Ввод формулы

X и Y независимы и равномерно распределены на [0;\,1]. Найдите P(X + Y \le 1{,}5).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Задание 10 Ввод формулы

Плотность пары (X, Y): p(x, y) = e^{-x - y} при x, y \ge 0. Найдите P(X < Y).

Как вводить формулы Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).

Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.