Практикум: приложения
Как решать
- Нарисуйте фигуру или тело.
- Найдите точки пересечения — пределы.
- Выберите формулу и переменную интегрирования.
- Проверьте ответ на правдоподобие: площадь положительна, объём меньше объёма описанного цилиндра, длина больше хорды.
Указания
1–5: площади
- 1. Пересечения x = \pm2; верхняя — -x^2 + 4.
- 2. На [0; 1] e^x \ge e^{-x}; пересечение при x = 0.
- 3. Пересечения: \frac{1}{1 + x^2} = \frac{x^2}{2}, x^4 + x^2 - 2 = 0, x = \pm1.
- 4. Лепесток при \varphi \in [-\frac\pi4; \frac\pi4]; \frac12\int 4\cos^22\varphi\,d\varphi.
- 5. См. пояснение после ответа.
6–12: объёмы, длины, поверхности
- 6. Диски: \pi\int_0^1e^{-2x}dx.
- 7. Оболочки: 2\pi\int_0^\pi x\sin x\,dx — по частям.
- 8. Шайбы: \pi\int_0^1(x - x^2)\,dx.
- 9. \int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx — интеграл из урока об иррациональностях.
- 10. Цепная линия: \sqrt{1 + \operatorname{sh}^2x} = \operatorname{ch}x.
- 11. x'^2 + y'^2 = 4t^2 + 9t^4, \sqrt{\cdot} = t\sqrt{4 + 9t^2}, замена u = 4 + 9t^2.
- 12. y\sqrt{1 + y'^2} = 2\sqrt x\sqrt{1 + \frac1x} = 2\sqrt{x + 1}.
13–16: физика и вероятность
- 13. См. пояснение.
- 14. Ширина полукруга на глубине h: 2\sqrt{4 - h^2}; \int_0^2 2h\sqrt{4 - h^2}\,dh — подведение под дифференциал.
- 15. Формула \bar y = \frac{1}{2S}\int f^2dx.
- 16. \frac34\int_{1/2}^1(1 - x^2)\,dx.
Практика решено 0 из 16
Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.
Задание 1
Ввод формулы
- Площадь фигуры между y = x^2 - 4 и y = -x^2 + 4.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
64/3
Задание 2
Ввод формулы
- Площадь фигуры, ограниченной y = e^x, y = e^{-x} и прямой x = 1.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
e + 1/e - 2
Задание 3
Ввод формулы
- Площадь фигуры между y = \frac{1}{1 + x^2} и y = \frac{x^2}{2}.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi/2 - 1/3
Задание 4
Ввод формулы
- Площадь одного лепестка розы r = 2\cos 2\varphi.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi/2
Задание 5
Ввод формулы
- Площадь внутри окружности r = 3\cos\varphi и вне кардиоиды r = 1 + \cos\varphi.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi
Задание 6
Ввод формулы
- Объём тела вращения вокруг Ox фигуры под y = e^{-x}, x \in [0;\,1].
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi(1 - e^(-2))/2
Задание 7
Ввод формулы
- Объём тела вращения вокруг Oy фигуры под y = \sin x, x \in [0;\,\pi].
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
2pi^2
Задание 8
Ввод формулы
- Объём тела вращения вокруг Ox фигуры между y = \sqrt{x} и y = x.
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi/6
Задание 9
Ввод формулы
- Длина дуги y = \frac{x^2}{2} при x \in [0;\,1].
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
sqrt(2)/2 + ln(1 + sqrt(2))/2
Задание 10
Ввод формулы
- Длина дуги y = \frac{e^x + e^{-x}}{2} при x \in [0;\,1].
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
(e - 1/e)/2
Задание 11
Ввод формулы
- Длина кривой x = t^2, y = t^3 при t \in [0;\,1].
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
(13sqrt(13) - 8)/27
Задание 12
Ввод формулы
- Площадь поверхности вращения вокруг Ox дуги y = 2\sqrt{x}, x \in [0;\,3].
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
56pi/3
Задание 13
Ввод формулы
- Работа, чтобы откачать воду из полусферического котла радиуса 1 м через верх (в единицах \rho g).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi/4
Задание 14
Ввод формулы
- Сила давления воды на вертикальный полукруг радиуса 2 м, диаметр которого лежит на поверхности (в единицах \rho g).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
16/3
Задание 15
Ввод формулы
- \bar y центра масс однородной фигуры под y = \sin x, x \in [0;\,\pi].
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
pi/8
Задание 16
Ввод формулы
- Плотность p(x) = \frac{3}{4}(1 - x^2) на [-1;\,1]. Найдите P\left(X > \frac12\right).
Как вводить формулы
Степень —^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)),
дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x).
Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e.
Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C.
Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α.
Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).
Эталонное решение (ваше может отличаться):
5/32Войдите, чтобы отмечать пройденные уроки.