Интегралы: полный курс / Определённый интеграл / урок 22 из 64

Свойства определённого интеграла

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 10

Соглашения

По определению $a < b$ , но удобно расширить запись:

\int_a^a f(x)\,dx = 0, \qquad \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx.

Смысл: при движении «справа налево» все $\Delta x_k$ отрицательны.

Свойства-равенства

1. Интеграл константы: $\int_a^b c\,dx = c(b - a)$ — площадь прямоугольника.

2. Линейность:

\int_a^b\big(\alpha f + \beta g\big)\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx.

Доказательство: интегральные суммы линейны, а предел суммы равен сумме пределов.

3. Аддитивность: для любых $a, b, c$ (при интегрируемости на наибольшем отрезке)

\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx.

Благодаря соглашениям формула верна и когда

c

лежит вне

[a; b]

. Аддитивность позволяет разбивать отрезок, например, для кусочно заданных функций или

|f|

4. Значение не зависит от имени переменной: $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$ — переменная интегрирования «немая».

Свойства-неравенства (при $a < b$ )

5. Знак: если $f \ge 0$ на $[a; b]$ , то $\int_a^b f\,dx \ge 0$ .

6. Монотонность: если $f \le g$ , то $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$ .

7. Оценка модуля:

\left|\int_a^b f\,dx\right| \le \int_a^b|f|\,dx.

8. Строгость: если $f$ непрерывна, $f \ge 0$ и $f(x_0) > 0$ хотя бы в одной точке, то $\int_a^b f\,dx > 0$ . (В окрестности $x_0$ функция больше $\frac{f(x_0)}{2}$ , это даёт положительный вклад.)

Ориентированная площадь

Интеграл — площадь со знаком: части фигуры над осью $Ox$ входят со знаком «+», под осью — со знаком «−».

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 400)
y = np.sin(x)
vis.line(x, {"sin x": y, "|sin x|": np.abs(y)}, title="∫₀^{2π} sin x dx = 0, но площадь фигуры = ∫|sin x| dx = 4", xlabel="x")
print("∫ sin x  ≈", round(float(np.trapz(y, x)), 6))
print("∫ |sin x| ≈", round(float(np.trapz(np.abs(y), x)), 6))

Чтобы найти геометрическую площадь между графиком и осью, интегрируют $|f|$ : находят нули функции, разбивают отрезок и на участках, где $f < 0$ , меняют знак.

Интегралы как площади известных фигур

Многие интегралы можно вычислить без всякой первообразной — через геометрию:

$\int_0^r\sqrt{r^2 - x^2}\,dx = \frac{\pi r^2}{4}$ — четверть круга;
$\int_a^b(kx + m)\,dx$ — площадь трапеции;
$\int_{-a}^a(\text{нечётная функция})\,dx = 0$ — площади по разные стороны сокращаются.

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
print(sp.integrate(sp.sqrt(4 - x**2), (x, 0, 2)))       # четверть круга радиуса 2
print(sp.integrate(sp.Abs(x), (x, -1, 2)))               # два треугольника
print(sp.integrate(x**3 * sp.cos(x), (x, -1, 1)))        # нечётная функция

Итог

$\int_a^a = 0$ , $\int_b^a = -\int_a^b$ ; линейность; аддитивность $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ .
Неравенства можно интегрировать (при $a < b$ ); $\left|\int f\right| \le \int|f|$ .
Интеграл — ориентированная площадь; геометрическая площадь — интеграл от $|f|$ .

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Известно: $\int_0^2 f\,dx = 3$ , $\int_0^2 g\,dx = -1$ . Найдите $\displaystyle\int_0^2 (2f - 5g)\,dx$ .

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).