Интегралы: полный курс / Введение и подготовка / урок 3 из 64

Повторение: элементарные функции и тождества

⏱ 35 мин · 🧩 заданий: 10

Зачем это нужно

Методы интегрирования применяются не к любой записи функции, а к «удобной». Интеграл $\int \sin^2 x\,dx$ в лоб не берётся, а после замены $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ становится элементарным. Интеграл $\int \frac{dx}{x^2 + 6x + 13}$ после выделения полного квадрата превращается в табличный. Поэтому вспомним основные преобразования.

Степени и корни

x^a \cdot x^b = x^{a+b}, \qquad \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}, \qquad (x^a)^b = x^{ab}, \qquad \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}, \qquad \frac{1}{x^a} = x^{-a}

Перед интегрированием корни и дроби почти всегда переписывают в виде степеней: $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ , $\;x\sqrt[3]{x} = x^{4/3}$ . Тогда работает одна формула для всех степеней.

Экспонента и логарифм

e^{a+b} = e^a e^b, \qquad \ln(ab) = \ln a + \ln b, \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \qquad \ln a^k = k\ln a, \qquad e^{\ln a} = a, \qquad a^x = e^{x\ln a}

Логарифм определён только для положительных чисел. В интегралах поэтому часто появляется $\ln|x|$ — об этом в уроке о таблице интегралов.

import numpy as np
import vis

x = np.linspace(-2, 2, 200)
vis.line(x, {"eˣ": np.exp(x), "e⁻ˣ": np.exp(-x), "ch x": np.cosh(x), "sh x": np.sinh(x)},
         title="Экспонента и гиперболические функции", xlabel="x")
x2 = np.linspace(0.05, 4, 200)
vis.line(x2, {"ln x": np.log(x2), "√x": np.sqrt(x2), "1/x": 1 / x2}, title="Логарифм, корень, гипербола", xlabel="x")

Тригонометрия

Основные тождества:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}, \qquad 1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}

Двойной угол:

\sin 2x = 2\sin x \cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1

Понижение степени (из формул для $\cos 2x$ ) — понадобятся десятки раз:

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \qquad \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}

Произведение в сумму:

\sin\alpha\cos\beta = \tfrac12\big(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\big)

\cos\alpha\cos\beta = \tfrac12\big(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\big)

\sin\alpha\sin\beta = \tfrac12\big(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\big)

Выражение через тангенс половинного угла ( $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ ) — основа универсальной подстановки:

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

SymPy умеет проверять тождества: если разность двух выражений упрощается до нуля, тождество верно.

import sympy as sp

x, t = sp.symbols("x t")
checks = {
    "sin²x = (1 − cos 2x)/2": sp.sin(x)**2 - (1 - sp.cos(2*x)) / 2,
    "sin 3x cos x = (sin 4x + sin 2x)/2": sp.sin(3*x) * sp.cos(x) - (sp.sin(4*x) + sp.sin(2*x)) / 2,
    "1 + tg²x = 1/cos²x": 1 + sp.tan(x)**2 - 1 / sp.cos(x)**2,
    "sin x через tg(x/2)": sp.sin(x) - 2*sp.tan(x/2) / (1 + sp.tan(x/2)**2),
}
for name, diff in checks.items():
    print(f"{name:38} → разность упрощается до {sp.simplify(diff)}")

Чётность и нечётность

Функция чётная, если $f(-x) = f(x)$ (график симметричен относительно оси $Oy$ ): $x^2$ , $\cos x$ , $|x|$ , $\operatorname{ch} x$ . Нечётная, если $f(-x) = -f(x)$ (симметрия относительно начала координат): $x^3$ , $\sin x$ , $\operatorname{tg} x$ , $\operatorname{sh} x$ . Произведение двух нечётных — чётное, чётной и нечётной — нечётное. Это сильно упрощает определённые интегралы по симметричным отрезкам: интеграл нечётной функции по $[-a; a]$ равен нулю.

Квадратный трёхчлен: выделение полного квадрата

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)

Пример: $x^2 - 4x + 8 = (x - 2)^2 + 4$ , $\;\; 2x^2 + 4x - 6 = 2(x + 1)^2 - 8$ . После замены $t = x + \frac{b}{2a}$ трёхчлен становится суммой или разностью квадратов — а для таких выражений есть табличные интегралы.

Деление многочленов

Если степень числителя не меньше степени знаменателя, дробь сначала делят «уголком», выделяя целую часть:

\frac{x^3 + 2x - 1}{x - 1} = x^2 + x + 3 + \frac{2}{x - 1}

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
q, r = sp.div(x**3 + 2*x - 1, x - 1)
print("частное:", q, "  остаток:", r)
print("разложение на простейшие дроби:", sp.apart((x**3 + 2*x - 1) / (x - 1)))
print("полный квадрат: x² − 4x + 8 =", sp.expand((x - 2)**2 + 4))

Функция apart раскладывает рациональную дробь на целую часть и простейшие дроби — этому методу посвящены два урока модуля.

Итог

Корни и дроби переписываем в виде степеней: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ , $\frac{1}{x^a} = x^{-a}$ .
Главные тригонометрические формулы для интегралов: понижение степени и произведение в сумму.
Квадратный трёхчлен приводим к виду $a(x + p)^2 + q$ ; у неправильной дроби выделяем целую часть.
Чётность и нечётность пригодятся для интегралов по симметричным отрезкам.

Практика решено 0 из 10

Вы не вошли — ответы проверяются, но прогресс не сохранится. Войти или зарегистрироваться.

Задание 1 Ввод формулы

Запишите $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ как степень $x$ : введите показатель степени.

Как вводить формулы

Степень — ^ (x^2, e^(3x)), умножение можно не писать (2x, x sin(x)), дробь — / (1/(x+1)), корень — sqrt(x), модуль — |x| или abs(x). Функции: sin cos tg ctg arcsin arccos arctg arcctg sh ch ln lg exp, константы pi и e. Аргументы функций лучше брать в скобки: sin(2x). Для неопределённого интеграла допишите + C. Индексы пишутся слитно: m1, v0; греческие буквы — словом или символом: alpha или α. Десятичная дробь — через точку или запятую, большие числа — через 10^: 6,67*10^(-11).